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课件网) 第一部分 专项突破 基础·中档专项 专项四 圆的切线的判定与相关计算 圆的切线的判定与相关计算，通常以三角形、四边形与圆为背景，以全等、相 似、锐角三角函数为载体，借助相关问题的设置，探究直线与圆的位置关系及相关 计算.在求解过程中渗透几何直观、推理能力和运算能力等核心素养的考查. 类型1 连半径，证垂直 【解题策略】当直线与圆有公共点时，连接公共点与圆心，证明半径与直线垂直. 例1 [2024·上饶模拟] 如图，是的直径，是 的切 线，为切点，连接，交于点，连接，过点 作 交于点，连接和，交于点 . （1） 求证：是 的切线. . . . . （2） 若，且，求切线 的长. 【自主解答】 （1） 求证：是 的切线. 证明：如图，连接 ， . . ， . ， ， . . 是 的切线. （2） 若，且，求切线 的长. 【自主解答】 解：是 的直径， . ， . ， 设，则， . 在中，由勾股定理得 ，即 ， 解得或（舍去）， . 是的切线， . . . . 类型2 作垂线，证半径 【解题策略】当直线与圆的公共点未给出时，一般过圆心向直线作垂线，证明 垂线段的长等于圆的半径长.当题目中已知某直线是圆的切线时，圆心与切点的连 线是常作的辅助线. 例2 如图，在菱形中，是对角线 上一点 ，，垂足为，以为半径的 分别交 于点，交的延长线于点，与交于点 . （1） 求证：是 的切线. . . . . （2） 若是的中点，， . ① 求 的长. ② 求 的长. 【自主解答】 （1） 求证：是 的切线. 证明：如图，过点作于点 . 是菱形 的对角线， . ， ， . 是 的切线. （2） 若是的中点，， . ① 求 的长. 解：是的中点， ， . ，， . . . . . ， . 由弧长公式得的长为 . ② 求 的长. 【自主解答】 解：如图，过点作于点 . 易知 ， . ，， ， . . . ，， . ， ， . . . . 类型1 连半径，证垂直 1.[2024·景德镇二模] 如图，为的直径，点是弧的中点，过点 作射线 的垂线，垂足为 ． （1） 求证：是 的切线. （2） 若，，求 的长． . . . . （1） 求证：是 的切线. 证明：如图，连接 . 点是弧的中点， . . ， . ． ， 半径 ． 是 的切线. （2） 若，，求 的长． 解：如图，连接 . 是的直径， , . 由（1）知， . .. ． 2.如图1，，是的两条弦， ，过点的直线与半径 平行. （1） 求证：直线与 相切. （2） 已知的半径，若 ，如图2，求图中阴影部分的面积. （1） 求证：直线与 相切. 证明：如图1，连接 . ， . ， . 直线与 相切. （2） 已知的半径，若 ，如图2，求图中阴影部分的面积. 解：如图2，连接，，过点作 ， 垂足为 . 在与 中， . . ， . . . 在中， ， . . 类型2 作垂直，证半径 3.如图，在中，为上一点，以点为圆心，长为半径作圆，与 相 切于点，过点作交的延长线于点，且 . （1） 求证：为 的切线. （2） 若，，求 的长. . . . . （1） 求证：为 的切线. 证明：如图，过点作于点 . 于点 ， . ， . ， . 又为的切线， . . ， . . ，是 的切线. （2） 若，，求 的长. 解： ， ， . , ， . 由（1）易知， . , . ， . ， ， . ，即 . . 4.如图，是的直径，，分别切于点，，交， 于点 ，，平分 . （1） 求证：是 的切线. （2） 若，，求的半径 ． （1） 求证：是 的切线. 证明：如图，过点作于点 . 切于点， . 又平分， . 为 的半径， 是 的半径. 又 ， 是 的切线． （2） 若，，求的半径 ． 解：如图，过点作于点 . ，分别切于点， ， ， 四边形 是矩形. ， . 又，， . ，，分别切于点，， ， ， . . 在中， ， . . 的半径是 ． 5.如图，在中， ，是边的中点，点在边上， 经过 点且与边相切于点， . （1） 求证：是 的切线. （2） 若，，求的半径及 的长. （1） 求证：是 的切线. 证明：如图，作，垂足为，连 ... ...
