中小学教育资源及组卷应用平台 微专题01 向量共线定理与等和线 题型一：向量共线定理 题型二：“鸡爪”模型 题型三：等和线 1.向量共线定理 如果a≠0，b与a平行的充要条件是，存在唯一实数λ，使得 b=λa. 2.三点共线 (1) A、B、C三点共线的充要条件是，存在唯一实数λ，使得 (2) A、B、C三点共线的充要条件是，平面上任取一点O，存在唯一实数对（λ，μ），使得，且λ+μ=1. 3.平面向量基本定理 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 基底：若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 4.“鸡爪”模型 三角形ABC中,当点D在直线BC上，若（注意向量的方向及的正负），则有 . “鸡爪”模型的系数具有以下性质: (1) （参照三点共线的充要条件） (2)当点D在线段BC内部时，系数都是正数. (3)当点D在线段BC外部时，系数一正一负（离哪个点远，则对应向量的系数为负）. (4)当点D在线段BC端点时，系数一个为0，一个为1. 5.等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立.则我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k=1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，； (3)当直线AB在点O与等和线之间时，； (4)当等和线过O点时，k=0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. (6) 定值的变化与等和线到点的距离成正比. 题型一：向量共线定理 【例1】（2023·高一期末测试）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·高一校联考期中）已知所在平面内的一点满足，则点必在（ ） A．的外面 B．的内部 C．边上 D．边上 【变式2】已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2024·上海闵行·高一校考期末）是所在平面内一点，，则点必在（ ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 题型二：“鸡爪”模型 【例2】在△ABC中，，，若点D满足，以作为基底，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，是上的一点，若，则 . 【变式2】（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式3】（2024·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式4】（2024·河北沧州·高三周测）如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为 A． B． C． D． 三、等和线 【例1】如图，分别是射线上的点，给出下列以为起点的向量: (1) ； (2) ； (3) ； (4) (5) . 其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是 . (写出满足条件的所有向量的序号). 【变式1】设向量 不共线( 为坐标原点)，若，且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( ) A. B. C. D. C 【变式2】在中，是边上的动点且，则当 取得最大值时，的值为 . 【变式3】如图所示，，点在由射线 、射线段 及 的延长线围成的阴影区域内 (不含边界) 运动，且 则的取值范围是 ，当 时，的取值范围是 . 【变式4】已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 【例2】如图，是圆上的三点，且线段的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若 ，则的取值范围是 . 【变式1】如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值 ... ...
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