5.2.1等差数列（二） 上节课我们学习了等差数列的概念和等差数列的通项公式；我们知道数列是一类特殊的函数，那么等差数列也应是一类特殊的函数，那么等差数列有没有其独特的性质呢？本节课我们来进行学习！ 1. 理解等差中项的概念，能用公式求解；（重点） 2. 掌握判断等差数列的常用方法； 3. 掌握等差数列的性质，并能灵活运用等差数列的性质解决问题.（难点） 例4 .已知等差数列{an}的公差为d，求证：对于任意的正整数????,?????，有 ????????=????????+????????????? ? 探究点1：等差数列通项公式的推广 【解析】设等差数列的首项为a1,则 an=a1+(n?1)?dam=a1+(m?1)?d 两式相减，整理可得 an?am=?(n?m)?d 即an=am+n?md ? 推导公式：????????=????????+????????????? 已知数列的任意一项（不一定是首项）以及公差，即可求出其通项公式. ? 例 5.已知等差数列{an}中，????5=3， ????7=9，求????10. ? 【解析】（方法一）设等差数列的首项为a1，公差为d，则， 解得a1 =?9，d =3 因此a10=?9+9×3=18. ? 通性通法 基本量的运算 a1+4=3a1+6d=9 ? a5=a1+（5?1）da7=a1+（7?1）d ? （方法二）设等差数列的公差为d 根据推导公式 an=am+n?md 所以a7=a5+(7?5)d 将已知条件代入，可得 d=3， 又a10=a7+(10?7)×3，解得a10=18 ? 探究点2：等差中项 问题 1：如果在????与y之间插入一个数A，使得x，A，y成等差数列，那么A应该满足什么条件？ ? 【提示】由等差数列定义及x，A，y成等差数列可得： 整理可得 ? A?x=y?A ? A=x+y2 ? 如果三个数x,A,y组成等差数列，那么????叫做????和????的 等差中项. ? 等差中项 例如：2与8的等差中项是2+82=5. ? 在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项也不是末项的项）都是它的前一项与后一项的等差中项. 追问：一个等差数列是2，4，6，8，10，12，14.请问8是谁的等差中项呢？ 2，4，6，8，10，12，14 在?1和7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. ? 即时训练： 【解析】因为?1， a，b，c， 7成等差数列， 所以b是?1和7的等差中项，b=?1+72=3， 又a是?1与b的等差中项， c是b与7的等差中项， 则a =?1+32=1， c =3+72=5. 所以该数列为?1，1，3，5，7. ? 探究点3：等差数列的判断方法 例6.已知数列{????????}中，an?1=an+an?22 在n≥3时恒成立，求证：{????????}是等差数列. ? ?????????1=????????+?????????22 ? 【解析】因为 所以an?an?1=an?1?an?2=an?2?an?3=…=a2?a1. 因此，从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以{????????}是等差数列. ? 等差数列的定义是什么？ 2?????????1=????????+?????????2 ? ??????????????????1=?????????1??????????2， ? ?????????????是????????与????????????? 的等差中项 ? 1.定义法 利用定义看 是不是一个与n无关的常数. 【总结】 判断一个数列是不是等差数列的几种常用方法 2.等差中项法 3.通项公式法 如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数，那么这个数列必定是等差数列. 判断一个数列是否为等差数列，可以用以上三种方法，但证明一个数列是等差数列，只能用方法1和方法2. an?1+an+1=2an(n≥2) ? 或an+an+2=2an+1(n∈????+) ? an=kn+b(k，b为常数)?{????????}是等差数列 ? 探究点4：等差数列的性质 问题 1：设数列{????????}的通项公式为an=3n?1，求出a2+a7，a3+a6，并比较它们的大小. ? 【提示】由an=3n?1易知，数列{an}是等差数列， 因为 a2+a7=3×2－1+3×7－1=25， a3+a6=3×3－1+3×6－1=25， 所以a2+a7=a3+a6. ? 思考：从中你发现了有关等差数列的怎样的一般规律？ 追问：等差数列{????????}中，要使as+at和ap+aq相等，应该满足什么条件呢？ ? 【提示】设an=kn+b as+at=ks+b+kt+b=k(s+t)+2b， ap+aq=kp+b+kq+b=k(p+q)+2 ... ...
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