7.3.1 正弦函数的性质与图象（一） 高一数学（人教B版2019必修第三册） 课件（共17张PPT）

7.3.1正弦函数的性质与图象（一） x y O P ???? ? T M 如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系. 设 O 到地面的高 OT 为 ???? m， P点 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 r m，记以 OP 为终边的角为 ???? rad，点 P 离地面的高度为 ???? m，那么????是????的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？ ? 对于任意一个角????,都有唯一确定的正弦????????????????与之对应，因此????=????????????????是一个函数. ? 它具有怎样的性质与图象呢？这节课我们一起来研究一下. 1.理解正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性 和单调性的意义.（难点） 2.会求简单函数的值域.（重点） 在研究三角函数的图象和性质时，我们通常采用弧度制来度量角，记为x，表示自变量，用y表示函数值.于是，正弦函数表示为 正弦函数 探究点1：正弦函数的性质 x y O P ???? ? 1 M 是角x的正弦线 ???????? ? 思考1：你能由正弦线得出正弦函数????=????????????????具有哪些性质吗？ ? （1）定义域与值域 因为任意角都有正弦，所以????=????????????????的定义域为????. ? 由正弦线可以看出， 的长度最大是1，最小是0.因此，????=????????????????的值域为[?1,1]. ? MP ? 当且仅当????=????2+2????????,????∈????时，函数????=????????????????的最大值????????????????=1； 当且仅当????=3????2+2????????,????∈????时，函数????=????????????????的最小值????????????????=?1. ? 例1.已知????????????????=?????????,????∈????,求????的取值范围. ? 【解析】因为?1≤sin????≤1,所以 ?1≤t?3≤1， 由此解得2≤????≤4. 因此，????的取值范围是[2,4]. ? （2）奇偶性 由诱导公式sin(?????)=?sin????.可知正弦函数????=????????????????是奇函数，其图象关于原点中心对称. ? （3）周期性 由诱导公式sin(????+?????2????)=sin????(????∈????).可知当自变量????的值每增加或减少2????的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性. ? 一般地，对于函数????(????),如果存在一个非零常数????，使得对定义域内的每一个????，都满足????(????+????)=????(????),那么就称函数????(????)为周期函数，非零常数????称为这个函数的周期. ? 对于一个周期函数????(????)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为????(????)的最小正周期. ? 根据这个定义，正弦函数????=????????????????是一个周期函数，2????????(????∈????,????≠0)都是它的周期. 在2????????(????∈????,????≠0)中，最小的正数为2????，因此正弦函数????=????????????????的最小正周期为2????. ? 今后本书中的周期,如果不加特殊说明,均默认为最小正周期！ 简记为：????=2???? 长度为????????的区间称为????=????????????????的一个周期，如[????,????????],[?????????,????????????]等. ? （4）单调性 由正弦线可以看出， 当????由?π2增加到π2时，????=????????????????由?1增加到1，是递增的； 当????由π2增加到3π2时，????=????????????????由1减小到?1，是递减的.如下表： ? x ↗ 0 ↗ ↗ ↗ sinx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 思考：你能根据正弦线得出正弦函数????=????????????????在一个周期 如[?π2,3π2]中的单调性吗？ ? x y O P ???? ? 1 追问：你能根据正弦函数的周期性得出它完整的单调性吗？ 由于正弦函数????=????????????????的周期为2????????(????∈????,????≠0)，正弦值重复出现.因此， ? 正弦函数????=????????????????在区间[?????2+2????????,????2+2????????](????∈????)上递增， 在区间[????2+2????????,3????2+2????????](????∈????)上递减. ? （4）正弦函数的零点 ... ...