赣州市2024年高三年级摸底考试 数学试卷 2024年3月 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟 第I卷（选择题共58分） 一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知为虚数单位.，则（ ） A.1 B. C.2 D.4 3.在中，，则（ ） A. B. C. D. 4.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 5.在平行四边形中，，则（ ） A.16 B.14 C.12 D.10 6.若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（ ） A.1 B.2 C.2.5 D. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C.数列为单调数列 D.数列为单调数列 10.已知函数，则（ ） A.是的一个周期 B.的图象关于原点对称 C.的图象过点 D.为上的单调函数 11.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，则（ ） A.曲线关于坐标轴对称 B.周长的最小值为 C.到轴距离的最大值为 D.到原点距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.求值：_____. 13.展开式中的常数项为_____. 14.已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴 轴于点，过作的垂线分别交轴 轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为_____. 四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15.（13分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点. （1）求点到平面的距离： （2）求二面角的正切值. 16.（15分） 某人准备应聘甲 乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立. （1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率； （2）已知甲 乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 17.（15分） 己知椭圆过点，椭圆的右焦点与点所在直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 18.（17分） 已知函数. （1）求的单调区间， （2）已如.若函数有唯一的零点.证明，. 19.（17分） 设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为. （1）对数列，写出的所有元素； （2）数列满足，若.求数列的种数. （3）证明：若数列满足，则. 赣州市2024年高三年级摸底考试 数学（理科）参考答案 一 单选题（共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A A C D D 二 多选题（共18分） 题号 9 10 11 答案 BC ABC ABD 三 填空题（共15分） 12. 13.630 14.1 四 解答题（共77分） 15.解：（1）由平面，可得 令点到平面的距离为，则 由，可得 则 由，可得： 由平面，可得，则 则，即点到平面的距离为 （2）设为的中点，过作交于，连结 是的中点，平面 平面， 为二面角的一个平面角 又， 且，可得 则 即二面角的正切值为 说明：也可以利用向量法! 16. ... ...
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