专题04 特殊平行四边形中最小值综合题（原卷版+解析版）

专题04 特殊平行四边形中最小值综合题 一．选择题（共26小题） 1．（2023秋 辽阳期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接PG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，BO＝OD＝OC＝OA， ∴BD＝＝＝5， ∵点G是CD的中点， ∴CG＝， ∵BD∥CF，AC∥DF， ∴四边形CODF是平行四边形， ∵DO＝CO， ∴四边形CODF是菱形， ∴点G到各边的距离相等， ∵点P是四边形OCFD边上的动点， ∴当PG⊥CF时，PG有最小值， ∵BD∥CF， ∴∠BDC＝∠DCF， ∴sin∠BDC＝sin∠DCF＝， ∴， ∴PG＝， 故选：D． 2．（2023秋 杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值， 理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∴AC BC＝， ∴＝， ∴CM＝， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DE＝CM＝＝， 即DE的最小值是， 故选：B． 3．（2023秋 朝阳县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上任意一点，将正方形绕点B逆时针旋转90°后，点E的对应点为E'，则点B到线段EE′距离的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解答】解：如图，连接BE，BE′，EE′， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°，AC＝4， 由旋转可知：AE′＝CE，BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∠D′AA′＝∠DCA＝45°， ∴△BEE′是等腰直角三角形，∠A′AC＝90°， 过点B作BM⊥EE′于点M， ∴BM＝EE′， ∴要求BM的最小值，只需求EE′的最小值， 设AE＝x，则AE′＝CE＝4﹣x， 在Rt△AEE′中，根据勾股定理得： EE′2＝AE2+AE′2， ∴EE′2＝x2+（4﹣x）2＝2（x﹣2）2+16， 当x＝2时，EE′2有最小值，最小值为16， 此时，EE′＝4， ∴BM＝EE′＝2， 则点B到线段EE′距离的最小值为2． 故选：D． 4．（2023 夏津县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（　　） A．13 B．10 C．12 D．5 【答案】B 【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图， ∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形， ∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形， ∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°， ∴△ADE≌△DMF（SAS）， ∴DE＝MF， ∴BF+DE＝BF+FM， ∵点E，F分别是AB，DC上的动点， 故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值， 在Rt△BAM中，， 故选：B． 5．（2023 西乡塘区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8， 所以AE+DE＝DH． 在Rt△ADH中，DH＝ ∴BF+DE最小值为4． 故选：C． 6．（2023秋 莲池区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（　　） A．4.8 B．5 C．2.4 D．3.6 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD， ∵∠BAC＝90° ... ...