6.3二项式定理 分层练习（含解析） 2023-2024学年高二数学（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 6.3 二项式定理 精选练习 1．若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．在的展开式中，的系数为（ ） A． B．21 C． D．15 3．化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 4．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 5．二项式的展开式的中间项为 6．已知，则 ． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．的展开式中的系数为 ． 9．的展开式中的常数项等于 . 10．的展开式中的系数为 11．的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ． 12．展开式中的常数项是120，则实数 ． 13．已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 14．的展开式中，系数最小的项是（ ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 16．设，其中，且，若，则= 17．若，则（ ） A．6 B．16 C．36 D．90 18． 19．的展开式中的系数是（ ） A．60 B．80 C．84 D．120 20．已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．B 【分析】利用二项式系数的性质直接求解即可. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即. 故选：B 2．A 【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案. 【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：. 故选：A. 3．D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 4． 【分析】求出展开式有几项，并写出的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项. 【详解】由题意， 在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等， ∴，解得：， 因此的展开式的通项为：， 故的展开式中的常数项为. 故答案为：. 5．-252 【分析】利用二项式的展开式，求出中间项即可求解. 【详解】设展开式为， 总共项，中间项为第项，此时，所以. 故答案为：. 6．0 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】根据题意，今，得，令，得， 因此， 故答案为：0. 7．ABD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：令，可得，故A正确； 对于选项BC：令，可得， 所以，，故B正确，C错误； 对于选项D：令，可得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 8． 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 因此展开式中含的项为，故所求系数为. 故答案为：24. 9．280 【分析】对于一个多项式与一个二项式相乘的展开式的项的问题，一般先考虑二项式展开式的通项，根据通项的特征，搭配多项式中的各项按要求进行组合，找到所有符合题意的项即得. 【详解】因展开式的通项为：， 故的展开式中的常数项为. 故答案为：280. 10． 【分析】利用组合知识求解含的项即可. 【详解】可以看作5个相乘， 利用组合知识可知，展开式中含的项为，， 合并同类项为. 故答案为： 11． 【分析】根据二项式展开式的通项公式、二项式系数和等知识求得正确答案. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以各项系数的绝对值之和为. 故答案为： 12．2 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 ... ...