2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学（解析版）

2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 考生须知： 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共60分） 一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. i B. C. 1 D. 3. 函数的零点为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 6. 在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 7. 在同一坐标系中，函数与的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C 关于轴对称 D. 关于直线对称 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 11. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 12. 下列函数中，存在最小值的是（ ） A. B. C. D. 13. 贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 占比 39.2 40.3 38.9 386 396 40.6 42.4 41.4 42.2 45.4 则这10年占比数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 14. 若，则角可以为（ ） A. B. C. D. 15. （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 17. 如图，在正方体中，为的中点.若，则三棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 18. （ ） A. B. 1 C. D. 2 19. 已知，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 20. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ） A. 最多有1651名学生 B. 最多有1649名学生 C. 最少有618名学生 D. 最少有617名学生 第二部分（非选择题 共40分） 二、填空题共4小题，每小题3分，共12分. 21. 已知幂函数的图象经过点(2,4)，则_____． 22 已知，且，则_____（填“>”或“<”）. 23. 已知向量，其中.命题p：若，则，能说明p为假命题的一组和的坐标为_____，_____. 24. 已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 25. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 26. 阅读下面题目及其解答过程. 已知函数. （1）证明：是偶函数； （2）证明：在区间上单调递增. 解：（1）的定义域为①_____. 因为对任意，都有，且②_____，所以是偶函数. （2）③_____，且， 因为， 所以④_____0，⑤_____0，. 所以，即. 所以在区间上单调递增. 以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）， 空格序号 选项 ① A. B. ② A. B. ③ A.任取 B.存在 ④ A. B. ⑤ A B. 27. 如图，在四棱锥中，底面 ... ...