(
课件网) 6.2.3 向量的数乘运算 学习目标 思维导图 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象) 2.理解两个平面向量共线的含义.(数学抽象、直观想象) 3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向量.(数学运算、直观想象) 一、问题引入 若向相反方向行驶3秒，则位移所对应的向量该怎么表示？ 一、知识梳理 规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向_____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向_____． 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0. 向量 相同 相反 知识点一 向量的数乘运算 说明： (1) λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或 相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来 的|λ|倍或|λ|. (2) 要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算, 如:2+a,1-0无意义. (3) 对于非零向量，当λ＝时，λ表示方向上的单位向量. 1.数乘向量的运算律： 设λ，μ为任意实数，则有 (1)λ(μa)= ; (2)(λ+μ)a= ; (3)λ(a+b)= . 特别地,有(-λ)a= = ;λ(a-b)= . 知识点二 数乘向量的运算律 (λμ)a λa+μa λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 2. 向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b . 加法 减法 数乘 1. 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 . 2. 要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可. 知识点三 向量公共线定理 b=λa (1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立. (2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立. a≠0？ 二、课堂练习 探究一 向量的线性运算 例1(1)化简下列各向量表达式: 分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解. 解 (1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. 反思感悟 向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 探究二 用已知向量表示未知向量 (1)答案 D 反思感悟 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法： [提醒] 用已知向量表示其他向量的关键是弄清向量之间的数量关系． 本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示 【跟踪练习】 探究三 向量共线问题 反思感悟 1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向量不共线,必有向量的系数为零. A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【跟踪练习】 答案 B (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等. (2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足 (3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点. 反思感悟 三、课堂小结 本 课 结 束 ... ...
