上海中学2020-2021学年度高一下期末数学试题（PDF版含解析）

上海市上海中学 2020-2021 学年第二学期高一数学 期末试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置填写结果． 1. a 4, 3 的单位向量的坐标为_____． 2. 在空间，与边长均为 3cm的 ABC的三个顶点距离均为 1cm的平面共有 . 3 z. 若 z 1 i，则 _____．z z 1 4. 关于 z的实系数一元二次方程 2z 2 bz c 0的一根为1 3i，则 c _____． z 5. 设复数 z a bi a,b R ， 是实数，则 a，b满足条件_____． 1 z 6. 已知向量 a，b不共线，实数 x，y满足 2x y a 4b 5a x 2y b，则 x y的值为_____． z sin i 2 cos 7. 已知 ( (0, 2 ))，则 z 的取值范围是_____． 2 sin i cos 8. 已知 z C ，方程 z z 3iz 1 3i的解为_____． 9. 已知直线 a，b垂直，直线 c与 a所成的角为 ，则 c与b所成角的范围是_____． 6 10. 平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的棱长均为 2， BAD 60 ，且 AA1 底面 ABCD，则对角线 A1C与 侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____． 11. 已知正方形 ABCD的边长为 1，当每个 i (i 1,2,3,4,5,6)取遍 1时， 1AB 2BC 3CD 4DA 5 AC 6BD 的最小值与最大值的和_____. 12. 空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有_____ 种． 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应在 答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 下列说法正确的有（ ） （1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点， 若无三点共线，则这四点一定不共面． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 四面体的四个面中，直角三角形最多可有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 1 15. 动点 P满足OP (1 )OA (1 )OB (1 2 )OC （ R），动点 P一定会过ΔABC的（ ）3 A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 外心 16. 在四面体 ABCD中， AB BC CA 1，DA与直线 AB，CA均垂直，且DA 3，一只蚂蚁从 ABC 的中心沿表面爬至点D，则其爬过的路程最小值为（ ） 39 15 3 4 3 37 A. B. C. D. 3 2 6 3 3 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤． m 2 , 2 n sin x, cos x x 0, 17. 在平面直角坐标系中，向量 ， ， ．若m n，求 tan x的 2 2 2 值． 18. 空间四边形 ABCD中，AB AC，AE是 ABC 的边 BC上的高，DF是△BCD的边 BC上的中线， 求证： AE和DF是异面直线． 19. 在 OAB的边OA，OB上分别取点M ，N ，使得OM :OA 1:5，ON :OB 1: 4，设线段 AN与 BM 交于点 P，记OA a，OB b，用 a，b表示向量OP． 20. 如图 1，在 Rt ABC中， C 90 ，D， E分别为 AC， AB 的中点，点 F 是线段CD上的一点， 将 ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使 A1F CD，如图 2． （1）证明： A1F BE； AQ （2）线段 A1B上是否存在点Q，使 A1C 平面DEQ 1 ？若存在，求出 A 的值；若不存在，说明理由．1B 21. 设复平面中向量OP对应的复数为 zP ，给定某个非零实数 z，称向量 z OP Re z zP , Im z zP 2 为OP的 z 向量． （1）已知OA x1, y1 ，OB x2 , y2 ，求 z OA z OB ； （2）对于复平面中不共线的三点A， B，C，设OA ' z OA ，OB ' z OB ，OC ' z OC ，求 S△A 'B 'C ' : S△ABC ； （3）设 v x, y x, y 0 ， i 1,0 ， j 0,1 的 z向量分别为OV '，OE，OF ，已知OV ' u,v ， S1 S△OV 'E ， S2 S△OV 'F ，求 v的坐标（结果用 S1， S2 ， z表示）． 3 上海市上海中学 2020-2021 学年第二学期高一数学 期末试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置填写结果． 1. a 4, 3 的单位向量的坐标为_____． 4 , 3 4 ... ...