10.2 二倍角的三角函数 课程标准 学习目标 （1）会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点01 二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 【即学即练1】（2024·全国·高一专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B 知识点02 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）证明：． 【解析】. 知识点03 辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【即学即练3】（2024·上海·高一假期作业）把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 【解析】（1） . （2） . （3）. 题型一：二倍角公式的简单应用 【例1】（2024·新疆巴音郭楞·高一新疆兵团第二师华山中学校考期末）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意结合二倍角公式可得，故B正确. 故选：B 【变式1-1】（2024·云南·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，所以. 故选：B 【变式1-2】（2024·新疆乌鲁木齐·高一新疆实验校考期末）已知，，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】，即， 因为，所以， 故，即， 则. 故选：D 【变式1-3】（2024·四川雅安·高一校考期末）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，由，得， 整理得，则有， 所以. 故选：C 【方法技巧与总结】 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 题型二：给角求值 【例2】（2024·全国·高一假期作业） ． 【答案】 【解析】原式， 故答案为：. 【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）的值是 . 【答案】 【解析】， 所以的值是. 故答案为： 【变式2-2】（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期末）_____. 【答案】1 【解析】 故答案为：1 【变式2-3】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习） . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【变式2-4】（2024·河南郑州·高一郑州外国语中学校考期末） . 【答案】 【解析】由题意得 ． 故答案为． 【方法技巧与总结】 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 题型三：给值求角 【例3】（2024·全国·高一专题练习）已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 【变式3-1】（2024·高一课时练习）设，均为钝角，且，，则的值为 . 【答案】 【解析】∵ ， ，且，，， ∴. ∵ ，∴ ； 故答案为：. 【变式3-2 ... ...
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