2025人教版新教材数学高考第一轮基础练--课时规范练26　破解“双变量问题”的基本策略（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教版新教材数学高考第一轮 课时规范练26　破解“双变量问题”的基本策略 1.(2024·四川宜宾高三模拟)已知函数f(x)=ax+1-xln x的图象在x=1处的切线与直线x-y=0平行. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若 x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2时,f(x1)-f(x2)>m(),求实数m的取值范围. 2.(2024·山东日照高三期末)已知函数f(x)=ln x+-2a(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈[e,e2],求f(x1)-f(x2)的取值范围. 3.(2023·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=ax--2ln x(a>0,b>0). (1)若f(x)在定义域上单调递增,求ab的最小值; (2)当a=1,b>1时,f'(x)=m有两个不同的实数根x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)+2m>0. 4.(2024·江苏无锡高三期中)设函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1. (1)曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与x轴平行,求实数a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)证明:若a<5,则对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有>-1. 5.(2023·浙江精诚联盟适应性联考)已知a∈R,函数f(x)=xln 2x-x++2. (1)当a=0时,求f(x)的单调区间和极值. (2)若f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1e.(注:e=2.718 28…是自然对数的底数) 课时规范练26　破解“双变量问题”的基本策略 1.解 (1)f'(x)=a-1-ln x,所以f(x)的图象在(1,f(1))处的切线斜率为a-1,由切线与直线x-y=0平行,可得a-1=1,即a=2,因此f(x)=2x+1-xln x,f'(x)=1-ln x. 由f'(x)>0,可得0e,则f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减. (2)若 x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2时,f(x1)-f(x2)>m-m,即有f(x1)-m>f(x2)-m恒成立. 设g(x)=f(x)-mx2,x>0,所以g(x)=f(x)-mx2在(0,+∞)上单调递增,即有g'(x)=1-ln x-2mx≥0对x>0恒成立,可得2m在(0,+∞)上恒成立. 令h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,可得x=e2,所以h(x)在(0,e2)内单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,即有h(x)在x=e2处取得极小值,且为最小值,又h(e2)=- 可得2m≤-,解得m≤-, 则实数m的取值范围是-∞,-. 2.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,x∈(0,+∞). 令f'(x)=0,得x2+(2-a)x+1=0. 当a≤2,x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>2时,方程x2+(2-a)x+1=0的Δ=a2-4a=a(a-4), ①当24时,Δ>0,令x2+(2-a)x+1=0,得x1=>0,x2=,当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0; 所以f(x)在内单调递减,在0, ,,+∞上单调递增. 综上所述: 当a≤4时,f(x)在(0+∞)上单调递增; 当a>4时,f(x)在内单调递减,在0, ,,+∞上单调递增. (2)由(1)得,若f(x)有两个极值点x1,x2,则a>4,且x1+x2=a-2,x1x2=1,即a=x1+x2+2,x2=, 故f(x1)-f(x2)=ln x1+-2a-ln x2+-2a=ln x1+-ln x2-=ln=2ln x1+-x1,x1∈[e,e2],令g(x)=2ln x+-x,x∈[e,e2],当x∈(e,e2)时,g'(x)=-1=-<0,所以g(x)在[e,e2]上单调递减; 即g(e2)≤g(x)≤g(e),故4+-e2≤g(x)≤2+-e,综上所述,f(x1)-f(x2)的取值范围为4+-e2,2+-e. 3.(1)解 由题意知f'(x)=a+0在(0,+∞)上恒成立,即ax2-2x+b≥0在(0,+∞)上恒成立,∵a>0,∴Δ=4-4ab≤0,∴ab≥1,即ab的最小值为1. (2)证明 由题意知+1=m有两个不同的实数根x1,x2,则是方程bx2-2x+1-m=0的两个不同的实数根,,x1+x2=x1x2>2,∴x1x2>b2,,m=1->1-=1->0. f(x1)+f(x2)=x1+x2-b-2ln x1x2=x1x2-2-2ln x1x2,令t=x1x2,t>b2,g(t)=f(x1)+f(x2)+2m=t-2ln t-2+21-=t-2ln t-,∴g'(t)=>0,∴g(t)在(0,+∞)上单调递增,所 ... ...