(
课件网) 1.2.1.3 充要条件 新授课 1.结合具体实例,理解充要条件的意义,能够判断证明充要条件. 2.理解充要条件与数学定义之间的关系. 回顾: 勾股定理 知识点:充要条件 勾股定理的逆定理 如果一个三角形为直角三角形, 那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和, 那么这条边所对的角是直角. 在勾股定理中, “两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件.（p q） 在勾股定理的逆定理中, “三角形的一个角是直角”是“三角形的直角所对的边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件.（q p） 概念生成 一般地, 如果p q, 且q p, 那么称p是q的充分且必要条件, 简称p是q的充要条件, 记作p q. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”, 或“p与q等价”. 当p是q的充要条件时, q也是p的充要条件. 问题:若p q, 则p为q的充要条件,其中 p这个条件唯一吗？请举例说明. 不唯一 例如, “三角形一边的平方等于其他两边的平方和”与“三角形一边上的中线等于该边长的一半”都可以用来定义直角三角形. 思考：上述例子从不同角度刻画了“直角三角形”这个概念，据此我们可以给出直角三角形的不同定义．再回忆你学过的其他数学定义，思考充要条件和数学定义之间有什么关系？ 数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理． 例1. 在下列各题中, 试判断p是q的什么条件. (1) p:A B, q:A∩B=A； (2) p:a=b, q: |a|=|b|； (3) p:四边形的对角线相等, q:四边形是平行四边形. 解: (1) 因为命题“若A B, 则A∩B=A”为真命题, 并且“若A∩B=A, 则A B”也为真命题, 所以p是q的充要条件； (2) 因为“a=b” “|a|=|b|”, 但是“|a|=|b|”不能推出“a=b”, 例如, “|1|=|-1|”而“1≠-1”, 所以p是q的充分条件, 但不是必要条件； (3) 因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”, 并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”, 所以p既不是q的充分条件, 也不是q的必要条件. (3) p:四边形的对角线相等, q:四边形是平行四边形. 一般地, (1)若p q,但q p, 则称p是q的充分不必要条件; (2)若p q, 但q p, 则称p是q的必要不充分条件; (3)若p q, 且q p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 判断充要条件的方法： (1)分清命题的条件和结论; (2)找推式，判断p q和q p的真假; (3)根据条件和推式得出结论. 归纳总结 1.指出下列各组中p是q的什么条件. ①p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； 练一练 ②p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； 因为p和q代表的都是等腰三角形，所以p=q，即p q，p是q的充要条件. 四边形对角线互相平分 四边形是矩形； 四边形是矩形 四边形对角线互相平分， 所以p是q的必要不充分条件. 例2.指出下列各组中p是q的什么条件. (1)p:x2-2x-3<0, q:|x|>3; (2)p:平行四边形, q:正方形; (3)p:x>0, q:x≥5. 解:(1)令A={x|p(x)},B={x|q(x)}. 则A={x|x2-2x-3<0}={x|-1
3}={x|x>3或x<-3}, 由下图可知,A B,且B A,所以p是q的既不充分也不必要条件. -3 -2 -1 0 1 2 3 B A B x (2)p:平行四边形, q:正方形; (3)p:x>0, q:x≥5. (2)令A={x|p(x)},B={x|q(x)}. 由下图可知B A, 平行四边形 正方形 B A (3)令A={x|p(x)},B={x|q(x)}. 则A={x|x>0},B={x|x≥5}.由可知B A, A B 0 5 所以p是q的必 ... ... 
