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课件网) 第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 第2课时 正方形的判定 1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点) 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . (难点) 学习目标 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 复习引入 新课导入 问题2 你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考:怎样判定一个四边形是正方形呢？ 正方形的判定 讲授新课 猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 菱形 猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图,在菱形ABCD中,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 要点归纳 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 练一练 C A B C D O 例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例精析 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 . 例2 如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边BC、CD上，且∠CEF=45 . 求证：矩形ABCD是正方形. 解析：先证明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出结论. C B D A E F 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠D=∠C=90 ∵△AEF是等边三角形 ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60 ∵∠CEF=45 ∴∠CFE=45 ∴∠AFD=∠AEB=180 -45 -60 = 75 ∴矩形ABCD是正方形 ∴△AEB≌△AFD，AB=AD C B D A E F 例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C D O E H G F ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 例4 如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A， ... ...
