专题3平面向量的应用 期中复习讲义 高中数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

专题3 平面向量的应用 【必备知识】 知识点一　余弦定理 文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 符号语言：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca_cos_B，c2＝a2＋b2－2ab_cos_C. 知识点二　余弦定理的推论 在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝. 知识点三　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识点四　正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 ＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆的半径） 知识点五　正弦定理的变形 正弦定理的变形（R为△ABC外接圆的半径） 1.a＝2R·sin_A，b＝2R·sin_B，c＝2R·sin_C； 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝； 3.a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C. 知识点六　常用的三角形的面积计算公式 1.S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc（ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高）. 2.将ha＝b sin C，hb＝c sin A，hc＝a sin B代入上式可得S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. 知识点七　三角形中有关边和角的常用性质 1.三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π. 2.在△ABC中，a>b A>B sin A>sin B. 3.在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b. 4.在△ABC中，A为锐角 cos A>0 a2b2＋c2. 【必备技能】 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2.已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 4.已知两角及一边解三角形的解题方法 （1）若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求第三个角，最后由正弦定理求第三边. （2）若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 5.已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形有解，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有两解，不必死记硬背某些结论. 6.利用正弦定理判断三角形形状的方法 （1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状. （2）化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 【考向总览】 考向一 正弦定理与余弦定理 （★★★★★） 考向二 线段垂直问题 （★★★★） 考向三 角度问题 （★★★） 考向四 线段长度问题 （★★★★） 考向五 最值问题 （★★★★★） 考向六 三角形形状问题 （★★★） 考向七 三角形面积公式的应用 （★★★★★） 【考向归类】 考向一 正弦定理与余弦定理 【典例1-1】 1．在中，内角的对边分别为，有，，，则 . 【典例1-2】 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． ... ...