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课件网) 人教版必修第二册A版 6.2.4《 向量的数量积 》 （ 2 课 时 ） 教学目标 学习目标：1.认识与理解两向量的夹角、向量数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象） 2.理解与掌握向量数量积的性质及其运算律，能利用数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理） 教学重点：向量数量积的概念、性质及其运算律 教学难点：利用数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系. 一 情景问题（导学） 前面我们学习了向量的加、减、数乘运算．类比数的运算， 出现了一个自然的问题： 向量能否相乘？ 如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ （一）问题 一 情景问题（导学） （二）情景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功为 其中 是 与 的夹角. 提示：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把 “功”看作两个向量 “相乘”的结果呢？受此启发，我们就可以引入两个向量相乘———数量积”的概念. 一 情景问题（导学） （二）情景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功为 其中 是 与 的夹角. 二 探究新知1———向量的夹角与数量积（互学） （一）向量的夹角 如图，已知两个非零向量 ， 是平面上的任意一点，作向量 则 叫做向量 与 的夹角, 记作 二 （一）向量的夹角 注：特别地， （1）当 时， 与 同向； （2）当时， 与 反向； （3）当时，我们说 与 垂直，记作 . 温馨提示 ①两向量的夹角的范围是； ②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 探究新知1———向量的夹角与数量积（互学） 二 （二）向量的数量积 如图，已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ， 即 规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 探究新知1———向量的夹角与数量积（互学） 温馨提示 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 三 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这两道题考察了向量的数量积及其应用. 例9 已知,的夹角求 . 例10已知, ，求的夹角. 四 成果展示1(迁移变通) 例9 已知,的夹角求 . 解： 四 成果展示1(迁移变通) 解：由 可得 又∵ ∴ 例10已知, ，求的夹角. 五 1. 投影向量的概念 如图，设 是两个非零向量， ,，我们考虑如下的变换：过 的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，叫做向量 在向量 上的投影向量. 探究新知2———投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学） （一）投影向量的概念及其求解公式 五 特别地，如图，在平面内任取一点，作 ，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. （一）投影向量的概念及其求解公式 探究新知2———投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学） 五 2.思考 如图 , 设与方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 , 那么 ， ， 之间有怎样的关系？ 3.探究 ∵ 由题意易知 与 共线 ∴ （向量共线定理） 为了探究 ， 之间的关系，如图所示，我们分为锐角、直角、钝角以及 等情况进行讨论： （1）当为锐角时， ∵ 与 同向 ， 此时 ∴ （一）投影向量的概念及其求解公式 探究新知2———投影向量、向量数量积的性质与运算律（互学） 五 （2）当为直角时， ∵ 此时 ∴ （3）当为钝角时， ∵ 与 反向 ，此时 ∴ (4)当时, ∵ ，∴ (5)当时, ∵ ，∴ （一）投影向量 ... ...
