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课件网) 第3节 等比数列 课标解读 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题. 1 强基础 固本增分 2 研考点 精准突破 目录索引 1 强基础 固本增分 知识梳理 1.等比数列的概念 (1)等比数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为 等比数列中的任何一项都不为0,且公比q≠0 (2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且有 . 2 同一个常数 公比 G2=ab 微点拨1.若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,…. 2.在等比数列中,从第二项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等比中项,即an+1an-1= (n∈N*,n≥2). 微思考任意两个实数都有等比中项吗 提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an= (n∈N*); 误区警示在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误. 微点拨当q>1,a1>0或0
1,a1<0或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. a1qn-1 3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*). (2)若数列{an}为等比数列,且m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,q∈N*). 特别地,若m+n=2t,则aman=(m,n,t∈N*). (3)若数列{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为qm的等比数列. (4)如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),如果公比 q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 不能认为在任何等比数列中,都有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列 常用结论 2.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列. 3.若非零数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数列. 自主诊断 题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) 1.G为a,b的等比中项 G2=ab.( ) 2.当公比q>1时,等比数列{an}是递增数列.( ) 3.数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( ) 4.如果数列{an}为等比数列,那么数列{ln an}是等差数列.( ) × × × × 题组二回源教材 5.(人教A版选择性必修第二册4.3.2节例7(3)改编)等比数列{an}中,a1=8,公 5 6.(人教A版选择性必修第二册4.3.1节第34页练习第1(1)题改编)在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列,则这2个数为 . 27,81 解析 设该数列的公比为q,由题意知,243=9·q3,则q3=27,∴q=3.∴插入的2个数分别为9×3=27,27×3=81. 7.(人教A版选择性必修第二册4.3.2节第37页练习第4题改编)已知3个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64,则这个等比数列的公比等于 . 解析 设这3个数分别为a1,a2,a3,公比为q,由a1a2a3=64,得=64,所以a2=4. 题组三连线高考 8.(2023·全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=( ) C 9.(2021·全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=( ) A.7 B.8 C.9 D.10 A 解析 设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1.根据等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4) ... ... 