题型22 5类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在 中，记 ， 椭圆定义可知: (1). . (2) . 焦点三角形的周长为 . (3) . (4). 焦点三角形的而积为: . 2. 双曲线焦点三角形主要结论 如图， 是双曲线的焦点， 设 P为双曲线上任意一点， 记 ， 则 的面积 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【法一】因为，所以，从而，所以． 【法二】因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 例1-2．（全国·高考真题）设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（ ） A． B．2 C． D．1 【法一】 的面积=1 【法二】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为. 故选：D （上海·高考真题） 1．已知，是椭圆：（)的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则 . （2023·河南开封·统考三模） 2．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ） A．6 B．12 C． D． （全国·高考真题） 3．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则 A．2 B．4 C．6 D．8 （2023·全国·高三专题练习） 4．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形， 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时， 则其所对顶点 落在直线 上. 其中， 当 点为左 (右) 焦点时， 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列， 即 . 性质 3: 当 点为焦点时， . 2. 双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形， 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时， 则其所对顶点 落在直线 上. 其中， 当 点为左 (右) 焦点时， 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列， 即 . 性质 3: 当 点为焦点时， . 3. 抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 为阿基米德三角形， 则有: （1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2）若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 ， 则另一顶点 的轨迹为一条直线 （3）若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: ， 则定点的坐标为 . （4）底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . （5）若阿基米德三角形的底边过焦点， 顶点 的轨迹为准线， 且阿基米德三角形的面积最小值为 （6）在阿基米德三角形中， （7）. （8）抛物线上任取一点 (不与 重合)， 过 作抛物线切线交 于 ，连接 ， 则 的面积是 面积的 2 倍 例2．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 设，，由题意可得直线AB的斜率不为0， 因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程； 联立得，所以， 由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：， 联立得，，即.点到直线的距离， 当且仅当时取到最小值.故选：C. （2023秋·江西上饶·高三统考期末） 5．若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（ ） A．的最小值为 B．直线恒过定点 C．的最小值为0 D．当最小时，直线的方程为 （2023·全国·高三专题练习） 6．已知抛物线的焦点到原点的距离等于直线的斜率. （1）求抛物线C的方程及准线方程； （2）点P是直线l上 ... ...
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