题型19 10类球体的外接及内切解题技巧 2024年高考数学答题技巧与模板构建（含解析）

题型19 10类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 几个与球有关的切、接常用结论 （1）正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 正棱锥类型 ， 解出 例1-1．（2020·天津·统考高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即， 所以，这个球的表面积为. 例1-2．（全国·高考真题）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． 球的直径是长方体的体对角线，所以， 解得，所以球的表面积为： 例1-3．（全国·高考真题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R， 在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积 （陕西·高考真题） 1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 A． B． C． D． （全国·高考真题） 2．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2 （全国·高考真题） 3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． （四川·高考真题） 4．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A． B． C． D． （全国·高考真题） 5．已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 . （广东·高考真题） 6．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． （辽宁·高考真题） 7．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为 ． （2023·福建泉州·校联考模拟预测） 8．已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 技法02 墙角问题的应用及解题技巧 知识迁移 墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 例2．（2023·广西模拟）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 由题意可知CA，CB，CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积 （2023·天津河西·统考二模） 9．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． （2023上·浙江·高二校联考期中） 10．在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． （2023·全国阶段练习） 11．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 知识迁移 推导过程: 通过对棱相等， 可以将其补全为长方体， 补全 ... ...