考点46 解析几何定点、定值、定直线（解析版）

考点46 解析几何定点、定值、定直线 知识理解 求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 二．直线定点问题的求解的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 考向一 定值 【例1】已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点. （ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由. 【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析. 【解析】（1）由题意得， 所以， 所以椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）证明：设， 因为在椭圆上，所以. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为. 所以点的坐标为. 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率之积为： . （ⅱ）三点共线. 设直线斜率为，易得. 由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为. 联立可得. 解得点的纵坐标为， 所以点的坐标为. 所以，直线的斜率为，直线的斜率为. 因为直线的斜率等于直线的斜率， 所以三点共线. 【例2】已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，0 【详解】（1）因为椭圆过点，所以， 设满足，则， 又， 则， 所以椭圆的方程. （2）直线，代入椭圆，可得， 由于直线交椭圆于两点，所以，整理得. 设，由于点与关于原点对称，所以， 于是有， ， 又， 于是有 故直线的斜率与直线的斜率之和为0. 【例3】已知直线过点且与圆：交于，两点，过的中点作垂直于的直线交于点，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程 (2)设曲线与轴的交点分别为，，点关于直线的对称点分别为，过点的直线与曲线交于两点，直线相交于点.请判断的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，8 【详解】（1）由题意得，圆：的圆心为，半径为, 因为为中点，且，所以是线段的垂直平分线， 所以， 所以， 所以点的轨迹即曲线是以，为焦点的椭圆， 设曲线：，其中，. 则，，， 故曲线： （2）的面积是定值，理由如下： 由题意易得，，且直线的斜率不为0， 可设直线：，，， 由,得，恒成立， 所以，则. 直线的方程为：， 直线的方程为：， 由，得. 又 ， 解得. 故点在直线上，所以到的距离， 因为点关于直线的对称点分别为，所以设，所以，解得，所以，同理可得 因此的面积是定值，为. 【举一反三】 1．已知 ... ...