专题03 复数压轴题（七类题型的精囊妙计） 知识点1：（）的几何意义 在复平面内，设复数，（）对应的点分别是，，则.又复数.则，故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点2：复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设，是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. （3）复数乘方的运算律 根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有： ① ② ③ 题型一 复数分类 例题1.（2022·高一单元测试） 1．已知z为复数，为实数. (1)当时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合； (2)当时，若（）为纯虚数，求的值和的取值范围. 例题2.（2020下·高二课时练习） 2．设，问： （1），满足什么条件时，是实数； （2），满足什么条件时，是实数. 例题3.（2023下·陕西咸阳·高一校考期中） 3．已知虚数满足． (1)求； (2)是否存在实数，使得为实数，若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 练一练 （2022下·河南·高二统考期中） 4．已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围. （1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限. （2023下·宁夏固原·高一校考期中） 5．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. （2023下·河北石家庄·高一石家庄一中校考期末） 6．已知复数，，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求. 题型二 复数模的最值 例题1.（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习） 7．已知复数满足，当的虚部取最小值时，（ ） A． B． C． D． 例题2.（2023下·河南郑州·高一校联考期中） 8．已知复数z满足，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 例题3.（2023下·河南郑州·高一郑州一中校考期中） 9．已知复数和满足，且，则的最小值是 ． 练一练 （2018·北京·高三强基计划） 10．已知复数，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．前三个答案都不对 （2023·全国·高三专题练习） 11．若复数z满足，则的最小值为 （2023·江西景德镇·统考三模） 12．已知为虚数单位，且，则的最大值是 . 题型三 复数的三角形式 例题1.（2023·全国·学军中学校联考模拟预测） 13．已知复数，则（ ） A．2022 B．2023 C． D． 例题2.（2021下·上海宝山·高一上海交大附中校考期末） 14．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 练一练 （2020·北京·高三强基计划） 15．已知复数z满足，则中不同的数有（ ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 （2021下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习） 16．已知复数满足且，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型四 欧拉公式 例题1.（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测） 17．欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（ ） A． B．1 C． D． 例题2.（2022下·广东广州·高一广州市第八十六中学校考期末） 18．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 例题3.（2023下·河北邢台·高一校联考阶段练习） 19．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的 ... ...
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