专题01平面向量压轴题 学案（含解析）（2份打包） 高中数学人教A版（2019）必修第二册

专题01 平面向量压轴题（14类题型） 知识点1：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使. 若，不共线，我们把，叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点2：平面向量基本定理的有关结论 （1）设，是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 知识点3：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 知识点4：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点5：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 知识点6：三角形”四心“向量形式的充要条件 （1）三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心 ①重心———中线的交点：重心将中线长度分成2：1； ②垂心———高线的交点：高线与对应边垂直； ③内心———角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； ④外心———中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等. （2）设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别为，，，则 ①为的外心. ②为的重心. ③为的垂心. ④为的内心. （3）奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，，，的面积分别记作，，则. 说明： 本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式： ①是的重心. ②是的内心. ③是的外心. ④是的垂心. 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一. 知识点7：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中， 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点， 则对于三角形来说: 题型一 定理法解决平面向量共线问题 （2023·山西·高一统考阶段练习）例题1． 1．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ） A． B．2 C．4 D． （2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）例题2． 2．在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（ ） A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4 （2023下·四川绵阳·高一统考期末）例题3． 3．如图，在中，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 练一练 （2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中） 4．在中，，，与交于点，且，则（ ） A． B． C． D．1 （2022·高一课时练习） 5．设与是两个不共线的向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ） A．－ B．－ C．－ D．－ （2023下·四川绵阳·高一统考期末） 6．如图，在中，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． （2023下·甘肃武威·高一校考阶段练习） 7．如图，在中，已知，，，． (1)若，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． 题型二 利用推论解决平面向量共线问题 （2022下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐101中学校考期中）例题1． 8．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． （2023下·广西·高一期末）例题2． 9．已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ． （2022下·广西南宁·高一宾阳中学阶段 ... ...