广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试卷(含答案)

广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试卷 学校：_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、选择题 1．设集合,集合,则( ) A. B. C. D. 2．若复数z满足,则在复平面上所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．在梯形中,设,,若,则( ) A. B. C. D. 4．已知函数,则的最大值为( ) A.1 B.4 C. D.5 5．若,则( ) A. B. C. D. 6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为1,则圆台的体积为( ) A. B. C. D. 7．已知抛物线的焦点为F,直线与C交于A,B两点,与其准线交于点D,若,则( ) A. B.1 C. D.4 8．已知函数,过点作的切线l,若,则直线l的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、多项选择题 9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛,他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的为( ) A.这5位同学成绩的中位数是80 B.这5位同学成绩的平均数是76 C.这5位同学成绩的第75百分位数是80 D.若去掉戊的成绩,则剩余四人成绩的方差保持不变 10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则下列结论正确的为( ) A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称 C.在区间上单调递减D.的图象与的图象关于对称 11．已知圆,点P在圆上,过P可作的两条切线,记切点分别为A,B,则下列结论正确的为( ) A.当,时,点P可是上任意一点 B.当,时,可能等于 C.若存在P使得为等边三角形,则r的最小值为2 D.若存在P使得的面积为,则r可能为3 12．已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动,且四面体的体积恒为,则下列结论正确的为( ) A.P的轨迹长度为 B.四面体的体积最大值为 C.二面角的取值范围为 D.当的周长最小时, 三、填空题 13．设等差数列的前n项和为,若,,则公差_____. 14．某学校拟开展研究性学习活动,现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导,若每个小组至少需要一名指导教师,且每位指导教师都恰好指导一个小组,则不同的指导方案数为_____ 15．已知奇函数及其导函数的定义域均为R,若恒成立,则_____. 16．已知双曲线C的离心率为e,左、右焦点分别为,,点M在C的左支上运动且不与顶点重合,记I为的内心,,若,则的取值范围为_____. 四、解答题 17．已知为数列的前n项和,且满足. (1)求数列的通项公式; (2)记,求数列的前n项和. 18．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (1)求证：; (2)若的面积为,且,求b. 19．如图,在三棱锥中, 为等腰直角三角形,, 为等边三角形. (1)证明：; (2)若直线与平面所成的角为,点E在棱上,且,求二面角的大小. 20．已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负,按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛）,若某一队在前两场比赛中均获胜,则该队获得冠军;否则,两队需在中立场进行第三场比赛,且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为,,,且每场比赛的胜负均相互独立. (1)当甲队获得冠军时,求决赛需进行三场比赛的概率; (2)若主办方在决赛的前两场中共投资m（千万元）,则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛,且主办方在第三场比赛中投资n（千万元）,则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元,请以决赛总盈利的数学期望为决策依据,则其在前两场的投资额应为多少万元？ 21．已知函数,. (1) 讨论的单调性; (2) 当时,若的极小值点为,证明：存在唯一的零点,且. 22．在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为和,设的面积为S,内切圆半径为r,当时,记顶点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)已知点E,F,P,Q在C上,且直线与相交于点A,记,的斜率分别为,. (i)设的中点为G,的中点为H,证明：存在唯一常数,使得当时,; (ii) ... ...