专题4.2向量四心及补充定理综合归类 题型09奔驰定理与重心型轨迹 【解题攻略】 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标. ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 【典例1-1】 （2024·全国·高三专题练习） 1．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【典例1-2】 （2022春·重庆·高三统考） 2．已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式1-1】 （2023·全国·高三专题练习） 3．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（ ） A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的外心 【变式1-2】 （2023春·全国·高三专题练习） 4．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 题型10 三角形四心向量：内心 【解题攻略】 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为内心，则； 【典例1-1】 （2020春·山西运城·高三临猗县临晋中学校考开学考试） 5．为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【典例1-2】 （2022秋·重庆·高三重庆一中校考） 6．已知为的内心，，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2021春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习） 7．已知，，，，则下列结论错误的是（ ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则 【变式1-2】 （2024·全国·高三专题练习） 8．设为的内心，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】 （2023·全国·高三专题练习） 9．在中，若，则点是的（ ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 题型11 三角形四心向量：外心 【解题攻略】 设是内一点且； 若为外心，则 ； 【典例1-1】 （2021春·湖北武汉·高三统考） 10．中，，，，点为的外心，若，则实数 ． 【典例1-2】 （2023春·广东珠海·高三统考） 11．在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 . 【变式1-1】 （2023春·湖北武汉·高三校联考阶段练习） 12．设的外心为，且满足，，则的面积为 . 【变式1-2】 （2023春·山东青岛·高三统考） 13．记的三个内角的对边分别为，，，且，，若是的外心，则 ． 【变式1-3】 （2023春·广东汕头·高三金山中学校考） 14．已知为的外心，若 ，则最小值 . 题型12 三角形四心向量：重心 【解题攻略】 重心四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为重心，则； 解决该类问题常用如下方法： （1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形； （2）利用向量，结合向量的数量积进行求解； （3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解. 【典例1-1】 （2023·全国·高三专题练习） 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O为△ABC的外心，G为△ABC的重心，则OG的最小值为 A．1 B． C．1 D． 【典例1-2】 （2022春·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习） 16．已知点为的重心，，，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2020春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习） 17．已知中，为的重心，则 A． B． C． D． 【变式1-2】 （2023·全国·高三专题练习） 18．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为 A．或 B． 或 C．或 D ... ...
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