专题2-6 导数大题证明不等式归类 题型07 虚设根型证不等式 【解题攻略】 虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决 【典例1-1】 1．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【典例1-2】（20122·浙江·模拟预测） 2．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 【变式1-1】（2023上·福建福州·高三校联考） 3．设函数． (1)求时，的单调区间； (2)求证：当时，． 【变式1-2】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习） 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，若为的极大值点，证明：. 【变式1-3】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习） 5．已知函数,. (1)判断的单调性; (2)若, 求证:,其中e是自然对数的底数. 题型08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式 【解题攻略】 凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立． 通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明． 【典例1-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考） 6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【典例1-2】 7．已知函数． (1)当时，恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明：． 【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习） 8．已知，． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若，证明：． 【变式1-2】 9．已知 （1）对一切恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：对一切，都有成立． 【变式1-3】 10．已知函数. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若a＝e，证明：当x>0时，. 题型09 同构型不等式证明 【解题攻略】 常见同构技巧： 【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习） 11．已知，，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求证：． 【典例1-2】（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习） 12．已知函数，为自然对数的底数. (1)试判断函数的零点个数并说明理由； (2)证明：. 【变式1-1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测） 13．设，， (1)试讨论的单调性； (2)当时，证明恒成立. 【变式1-2】 14．已知，，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求证：． 题型10 双变量型构造 【典例1-1】（2022贵州黔东南·统考一模） 15．已知函数. (1)试讨论函数的单调性； (2)对，且，证明：. 【典例1-2】（2023上·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习） 16．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知m，n是正整数，且，证明． 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习） 17．已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，试证明． 【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习） 18．已知函数． （1）求证：函数在上单调递增； （2）设，求证：． 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习） 19．已知函数. （1）若函数在上为单调增函数，求的取值范围； （2）设，且，求证. 题型11 极值点偏移型：和型证明 【解题攻略】 极值点偏移多有零点这个条件．零点型，注意数形结合思想的应用： 零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内． 零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化． 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理 【典例1-1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测） 20．已知函数有两个极值点，． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：． 【典例1-2】（2023·山西·校考模拟预测） 21．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 【变式1-1】（2023 ... ...
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