【题型解读与技巧点拨】中考二轮重难点复习学案专题05：5.4 阿氏圆模型（原卷版＋解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题05 几何最值问题-5.4 阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值， 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 考向一　阿氏圆模型（1） 例1．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值． 【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图， ∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2， ∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP， ∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP， ∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号）， 而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质． 例2．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_____．的最小值_____ 【答案】 【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD， 作DF⊥BC交BC延长线于F． ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG， 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=2，CF=2， 在Rt△GDF中，DG，故答案为：； ②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是菱形，且，　 ∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30， ∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=， ∴，，∴， 且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴， ∴，∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM， 在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=， ∴CN=4-，∴MC=，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似 ... ...