2024长沙中考数学二轮专题复习 题型二 几何证明与计算 (含答案)

2024长沙中考数学二轮专题复习 题型二 几何证明与计算 类型一　与全等有关的证明与计算 典例精讲 例　如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，点E是AD边上一点(点E不与点A、D重合)，点F在AB的延长线上，且BF＝DE，连接EF交BD于点G. (1)求证：△BDE≌△CBF； 【思维教练】在含60°角的菱形中常利用等边三角形性质，找到等边和等角，利用SAS证明全等． (2)当BE⊥AD时，求CF的长； 【思维教练】出现垂直和60°角时，考虑用三角函数求线段长． (3)求证：EG＝FG； 【思维教练】过点E作BF的平行线，构造8字型全等，利用全等三角形的性质证明边相等． (4)设DE＝x，DG＝y，求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围． 例题图 【思维教练】表示出线段BG的长度，结合等边三角形性质及(3)中结论，得到等式，转化求解． 针对训练 1.如图①，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，连接CD，过点B作BF⊥CD，与CD的延长线交于点E，交CA的延长线于点F，连接AE，过点A作AG⊥AE交CD于点G. (1)求证：CD＝BF； (2)如图②，若D是AB的中点．求证：DG＝DE＋BE. 第1题图 2.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点(不与B、C重合)，将正方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG. (1)求证：△ADG≌△AFG； (2)若AB＝2. ①求△CEG的周长； ②若点E是BC的中点，EM是∠CEG的平分线，求GM的长． 第2题图 类型二　与相似有关的证明与计算 典例精讲 例　如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且E在AD上，BE交PC于点F. (1)求证：BP＝BF； 【思维教练】由折叠的性质及等角对等边求证． (2)若AD＝25，且AE＜DE. ①求AE的长； ②求tan∠PCB的值； 【思维教练】①利用等角的余角相等及相似三角形的性质求解； ②利用折叠和相似的性质求解． (3)当BP＝9时，直接写出BE·EF的值． 例题图 【思维教练】要求BE·EF，则可作辅助线构造包含BE、EF线段的三角形相似求解． 针对训练 1. (2023长沙黑白卷)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，连接BD，点H是BD上一点，连接AH并延长交BC边于点G，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF⊥AG于点F. (1)求证：△ABF≌△DAE； (2)若EF＝2－2，求； (3)设△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，若＝，求BG的长． 第1题图 2. (2023长沙开福区一模)如图，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，DG⊥AC于点G，DG的延长线交AB于点E，已知AD＝6，CD＝8. (1)求AE的长； (2)∠ACD的平分线CF交AD于点F，求tan∠DCF的值； (3)若O1、O2分别是△ADG、△DCG的内心，求O1、O2两点间的距离． 第2题图 参考答案 类型一　与全等有关的证明与计算 例　(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝DC. ∵∠A＝60°， ∴△ABD，△BCD 都是等边三角形． ∴DB＝BC，∠CBF＝∠BDE＝60°， 在△BDE和△CBF中， ， ∴△BDE≌△CBF(SAS)； (2)解：由(1)知△BDE≌△CBF， ∴CF＝BE，当BE⊥AD时，∵AD＝2，∠A＝60°，四边形ABCD为菱形． ∴BD＝AD＝2，∠EDB＝60°， ∴BE＝BD·sin60°＝. ∴CF＝； (3)证明：如解图，过点E作EH∥AB，交BD于点H. 例题解图 ∴∠DEH＝∠A＝60°， 又∵∠ADB＝60°， ∴△DEH是等边三角形， ∴EH＝DH＝DE， ∵BF＝DE， ∴EH＝BF. ∵EH∥AB. ∴∠HEG＝∠BFG，∠EHG＝∠FBG， ∴△EHG≌△FBG(ASA)， ∴EG＝FG； (4)解：如解图，∵△ADB是等边三角形． ∴DB＝AD＝2， ∵DG＝y， ∴GB＝2－y， ∵DH＝DE＝x， ∴HG＝DG－DH＝y－x. 由(3)得△EHG≌△FBG， ∴HG＝BG. ∴y－x＝2－y， ∴y＝x＋1，x的取值范围为0＜x＜2. 1. 证明：(1)∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF＝∠BAC＝90°， ∴∠F＋∠ABF＝90°， ∵BF⊥CD， ∴∠F＋∠ACD＝90°， ∴∠ABF＝∠ACD， ∵AB＝AC ... ...