2024年高考数学椭圆知识精讲+大题预测（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学椭圆知识精讲+大题预测 知识精讲： 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 大题预测： 1．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，，以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，点D为椭圆上一点，且四边形OADB为平行四边形，求的面积． 2．已知椭圆：的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 3． 已知椭圆的左、右焦点分别为. （1）若点M在椭圆上，点，求椭圆的标准方程； （2）已知点P在椭圆上且，，求椭圆的离心率. 4．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点． ①求证：； ②求证：定值． 5．已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（异于，），且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，的斜率分别为，，且，求的值； （3）设和的面积分别为，，求的最大值． 6．已知椭圆的一个顶点为，离心率为 （1）求椭圆的方程 （2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标 7．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线. （1）说明是什么曲线，并求的方程； （2）设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值 若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 8．已知椭圆过和两点. （1）求椭圆C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q. ①证明：点B在以为直径的圆内； ②求四边形面积的最大值. 9．已知椭圆的离心率为，，是的左、右焦点，是的上顶点，且． （1）求椭圆的方程； （2）A是椭圆的右顶点，斜率为的直线与交于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值． 10．已知椭圆，该椭圆与x轴的交点分别是A和B（A在B的左侧），该椭圆的两个焦点分别是F1和F2（F1在F2的左侧），椭圆与y轴的一个交点是P. （1）若P为椭圆的上顶点，求经过点F1，F2，P三点的圆的方程； （2）已知点P到过点F2的直线l的距离是1，求直线l的方程； （3）已知椭圆上有不同的两点M、N，且直线MN不与坐标轴垂直，设直线MA、NB的斜率分别为k1、k2，求证：“”是“直线MN经过定点（1，0）”的充要条件. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：设圆与圆的一个交点为P，则 由点P在椭圆C上知，即 又，得，所以 故椭圆C的方程为． （2）解：已知直线l斜率存在， 设直线l的方程为，， 由，消去y得 即∴，， ∵四边形OADB为平行四边形 ∴ ∴ ∵点D在椭圆C上 ∴，即 即，即，即 ∴ ∴ 2．【答案】（1）因为椭圆的短轴长为， 所以， 解得， 因为椭圆的离心 ... ...