2024年高考数学函数概念与性质知识点总结+大题跟踪训练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学函数概念与性质知识点总结+大题跟踪训练 知识点总结 一、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2 ① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性:同增异减 跟踪训练 1．已知函数． （1）若恒成立，求a取值范围； （2）若的最大值为M，正实数a，b，c满足：，求的最大值． 2．已知函数满足． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围． 3．已知函数． （1）当时，求的最值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，求的取值范围. 4．已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，求的值； （3）求证：. 5．已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③. （1）从中选择的两个条件的序号为　 　，依所选择的条件求得　 　，　 　. （2）在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围. 6．已知函数. （1）若，判断函数的单调性，并说明理由； （2）若时，恒成立. （i）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，. 7．已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）讨论函数的零点个数. 8． 已知函数． （1）讨论函数 的单调性； （2）若不等式对恒成立， 求的取值范围． 9． 已知函数，． （1）求函数的最小值； （2）设，求证：． 10．已知函数，.. （1）若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值； （2）当，函数有两个不同零点，求m的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）解： 当 时， 即 故 的取值范围为 [2，3] （2）解：由(1)知： . 即 法 1： 当且仅当 ， 即 时等号成立 的最大值为 6 . 法 2：（柯西不等式） 当且仅当 ， 即 . 的最大值为 6. 2．【答案】（1）解：因为，定义域为，得 令，则，当，得， 当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）解：由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，只需 因，令，， 有， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 3．【答案】（1）解：当时，，， 当时，，递减，当时，递增. 所以有极小值，也是最小值，无最大值. （2）解：恒成立，恒成立，恒成立， 设，则，令，则， 单调递增，单调递减 ； （3）解：由题意， 因为在两个极值点，则是方程的两个不等正根， ，， 则， ，， 显然是关于的减函数， 的取值范围是. 4．【答案】（1）解：当时，，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）解：由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以， 记，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以， 又， 所以， 所以； （3）解：由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以 ... ...