2024年高考数学抛物线知识精讲+大题预测（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学抛物线知识精讲+大题预测 知识精讲： 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) ＝ 　x0＋　 ＝ 　－x0＋　 ＝ 　y0＋　 ＝ 　－y0＋　 与焦点弦有关的常用结论 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值；(4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 大题预测： 1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）． （1）求抛物线的标准方程； （2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 2．已知抛物线，过且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点 （1）求的取值范围； （2）若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值． 3．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为. （1）求抛物线的方程和点的坐标； （2）若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点. 4．已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. （1）求p和m； （2）若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 5．已知抛物线的焦点为F． （1）求F的坐标和抛物线C的准线方程； （2）过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线l的斜率为1； 条件②：线段的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 6．已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点． （1）求椭圆与抛物线的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线的焦点为． （1）如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线 、的斜率成等差数列． 8．已知点为抛物线的焦点，定点（其中常数满足），动点在上，且的最小值为． （1）求的方程； （2）过作两条斜率分别为、的直线、，记与的交点为、，与的交点为、，且线段、的中点分别为、． （i）当，且时，求面积的最小值； （ii）当时，证明：直线恒过定点． 9．已知抛物线经过点. （1）求抛物线的方程； （2）动直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线上异于，的一点，记，的斜率分别为，，为非零的常数. 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①点坐标为；②；③直线经过点. 10．如图，已知抛物线上有一动点，M为y轴上的动点，设，连接与交于点B，过B作的切线交的延长线于点H，连接交C于点E，连接交y轴于点G，分别记的面积为. （1）若，求p； （2）若，求证：是之间的一个定值（不必求出定值）. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由已知可知， 所以，所以． 又点在抛物线上，所以， 又，所以，所以抛物线的标准方程为． （2）解：由题意，， 当直线斜率为0时，显然不成立， 所以直线斜率不为0，设直线方程为， 设 由消元得， 所以，， 因直线交抛物线于两点， 所以， 解得，即或， 因为以为直径的圆过点， 所以 又 所以 所以， 所以符合题意， 所以直线的方程为，即或 ... ...