2024年高考数学数列知识点总结+大题跟踪训练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年高考数学数列知识点总结+大题跟踪训练 知识点总结 （一）、等差数列 1、通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N ) 2、前n项和公式：S n = n a 1 +n ( n – 1 ) d = 3、等差数列的主要性质 ① 若m + n = 2 p，则 a m + a n = 2 a p（等差中项）( m , n∈N ) ② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列，公差为n d。 （二）、等比数列 1、通项公式：a n = a 1 q n – 1 ，推广：a n = a m q n – m ( m , n∈N ) 2、等比数列的前n项和公式： 当q≠1时，S n = =， 当q = 1时，S n = n a 1 3、等比数列的主要性质 ① 若m + n = 2 p，则a p2 = a m a n（等比中项）( m , n∈N ) ② 若m + n = p + q，则 a m a n = a p a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列，公比为q n。 （三）、一般数列的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + … + a n ，则恒有 跟踪训练 1．已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求k的值． 2．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为． 3．设是等差数列，是等比数列，公比大于已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设数列满足求 4．已知数列是首项为正数的等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 5．在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. （1）求等比数列的通项公式和前n项和； （2）若数列满足，求数列的前项和的最大值. （3）求数列的前项和 6．已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 7．已知函数. （1）若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：当时，. 8．已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得． （1）若，，求的值； （2）求证：数列是等差数列； （3）若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 9．已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 10．已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d， 由已知，，得，解得，则； （2）解：由（1）得，则 由，得或（舍去），所以的值为10. 2．【答案】（1）解：设正项等比数列的公比为， 由题意可得，解得． 数列的通项公式为； （2）解：. 3．【答案】（1）解：是等差数列，是等比数列，公比大于． 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，． 由题意可得：； 解得：，， 故，； （2）解：数列满足 令， 则， 得： ； 故 4．【答案】（1）解：（）， ∴ （2）解： ∴． 5．【答案】（1）解：设数列的公比为， 因为成等差数列， 所以1分 即， 所以， 解得或（舍去）， 又，所以数列的通项公式 （2）解：由题意得，， 则，且， 故数列是首项为9，公差为的等差数列， 所以， 所以当时，的最大值为25 （3）解：当时，， 当时， 6．【答案】（1）解：由题意，， 解得， ∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2； （2）解：由，. ． 7．【答案】（1）解：，又在处取得极值， ，解得：，， 则， 当时，；当时，； 在，上单调递增 ... ...