费马点模型 【模型分析】 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角； 1、若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP′＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP′ 所以PA＋PB＋PC≥PP′＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2、若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 3、如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 类型一 线段的系数都相同求线段的和的情况（费马点） 考法1：费马点在三角形中运用 例1 1．如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD． 【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA 【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是 （用a，b表示） 【变式】 2．问题提出 （1）如图①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′B′C′，则CC′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA＋PB＋PC的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四边形ABCD内部有一点，满足∠APD＝120°，连接BP、CP，点Q为△BPC内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得PQ＋BQ＋CQ有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【变式】 3．如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 考法2：费马点在四边形中运用 例2 4．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为 ． 【变式】 5．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由． 【变式】 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． （1）如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝2，求DF的 ... ...
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