3.3 复数的几何表示 【学习目标】 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间一一对应的关系.(直观想象) 2.掌握实轴、虚轴、复数的模、共轭复数等概念.(数学抽象) 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(数学运算) 【自主预习】 1.平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系 【答案】 一一对应. 2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合一一对应吗 【答案】 一一对应. 3.实轴上的点都表示实数,那么虚轴上的点都表示纯虚数吗 【答案】 虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数. 4.若z1,z2是共轭复数,在复平面内它们所对应的点有怎样的关系 【答案】 它们所对应的点关于实轴对称. 5.我们知道,复数1+2i与复数2+2i是不能比较大小的,这两个复数的模分别是多少 能比较大小吗 【答案】 ∵|1+2i|=,|2+2i|=2,∴|1+2i|<|2+2i|,即两个复数的模能比较大小. 6.怎样定义复数z的模 它有什么意义 【答案】 向量的模r叫作复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,且r=(r≥0,且r∈R),表示点Z(a,b)到原点的距离. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复平面内的点与复数是一一对应的. ( ) (2)复数的模一定是正实数. ( ) (3)若|z1|=|z2|,则z1=z2. ( ) (4)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等. ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是( ). A.3,3 B.5,1 C.-1,-1 D.-1,1 【答案】 D 【解析】 ∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数, ∴解得 3.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( ). A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) 【答案】 B 【解析】 因为z=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a), 又因为此点在第二象限,所以解得a<-1.故选B. 4.已知复数z=,则|z|= . 【答案】 【解析】 依题意,z===-+i,所以|z|==. 【合作探究】 探究1 复数的几何意义 问题1:在什么条件下,复数z=x+yi(x,y∈R)唯一确定 【答案】 实部x和虚部y唯一确定. 问题2:设复数z=x+yi(x,y∈R),以z的实部和虚部组成一个有序实数对(x,y),那么复数z与有序实数对(x,y)之间是一个怎样的对应关系 【答案】 一一对应关系,即复数z=x+yi 点Z(x,y). 问题3:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗 【答案】 不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数. 新知生成 1.复平面的定义 在平面上建立直角坐标系,这个与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面. x轴叫作 实轴 ,y轴叫作 虚轴 ,实轴上的点都表示 实数 .除 原点 外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点 Z(a,b) . (2)复数z=a+bi(a,b∈R)一一对应平面向量=(a,b). 新知运用 例1 求实数a分别取何值时,复数z=+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件: (1)在复平面的第二象限内; (2)在复平面内的x轴上方. 【解析】 (1)点Z在复平面的第二象限内, 则无解,∴a∈ . (2)点Z在x轴上方, 则 即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3. 【方法总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤:(1)确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标;(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系. 在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围. 【解析】 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1. (2)由题意得解得 ∴-1
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