1.1 课时3 导数的几何意义 【学习目标】 1.理解导数的几何意义并会求曲线在某点处的切线方程.(数学抽象、直观想象、数学运算) 2.通过导数的几何意义,了解微积分中以直代曲的数学思想.(数学抽象) 【自主预习】 1.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么 【答案】 当B点无限逼近A点时,此时直线AT就是A点处的切线. 2.如果设曲线的方程为y=f(x),点A的坐标为(x0,f(x0)),那么曲线在点A处的切线的斜率是什么 【答案】 k=f'(x0). 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. ( ) (2)若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线. ( ) 【答案】 (1)√ (2)× 2.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( ). A.4 B.16 C.8 D.2 【答案】 C 【解析】 ==8+2d, 当d→0时,8+2d→8, 即k=8. 3.函数y=f(x)的图象如图所示,下列描述错误的是( ). A.函数f(x)在x=-5处比x=-2处变化快 B.函数f(x)的图象在x=-4处呈上升趋势 C.函数f(x)在x=1和x=2处增减趋势相反 D.函数f(x)的图象在x=0处呈上升趋势 【答案】 D 【解析】 根据导数的几何意义知f'(-5)>0,f'(-4)>0,f'(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,故A,B,C正确,D错误.故选D. 【合作探究】 探究1 导数的几何意义 设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn). 问题1:割线PPn的斜率kn是什么 【答案】 割线PPn的斜率kn=. 问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系 【答案】 kn趋近于切线PT的斜率k. 问题3:如何求得过点P的切线PT的斜率 【答案】 函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f'(x0). 问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点 【答案】 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点,和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋近于确定位置的直线. 问题5:曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同 【答案】 曲线f(x)在点(x0,y0)处的切线,点(x0,y0)一定是切点,只要求出k=f'(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点. 新知生成 1.切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. 2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=f'(x0). 新知运用 一、求曲线的切线 例1 已知曲线y=x3+. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 【解析】 (1)∵点P(2,4)在曲线y=x3+上, =4+2d+d2. 当d→0时,4+2d+d2→4, ∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为4, ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. (2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0,+, 当d→0时,→,则切线的斜率k=, ∴切线方程为y-+=(x-x0), 即y=·x-+. ∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2-+,即-3+4=0. ∴+-4+4=0, ∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 【方法总结】 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,即给出了切点P(x0,y0)的坐标,求切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0). 要注意“过点P的切线”与“曲线在点P处的切线”的区别,若题中所给点(x0,y0)不一定是切点,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 二、求切点坐标或参数值 例2 (1)已知抛物线y=f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为 ... ...
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