第1章章末小结 【知识导图】 【题型探究】 题型1 导数的运算问题 例1 求下列函数的导数. (1)y=+; (2)y=xsincos; (3)y=. 方法指导 利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可. 【解析】 (1)∵y=+=, ∴y'==. (2)∵y=xsincos=x·sin(4x+π)=-xsin 4x, ∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x. (3)y'=' = = = =. 小结 函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导. 题型2 导数的几何意义 例2 (1)(2021年全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为 . (2)(2022年新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 . 【答案】 (1)5x-y+2=0 (2)(-∞,-4)∪(0,+∞) 【解析】 (1)当x=-1时,y=-3,故点(-1,-3)在曲线上.又y'==,所以当x=-1时,y'=5,故切线方程为5x-y+2=0. (2)设切点为(x0,(x0+a)), 则切线的斜率为f'(x0)=(x0+a+1),可得切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).又切线过原点,可得-(x0+a)=-x0(x0+a+1),化简得+ax0-a=0. (※) 又切线有两条,所以方程(※)有两个不相等的实根,则判别式Δ=a2+4a>0,得a<-4或a>0. 小结 导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)·(x0-x1).又已知y1=f(x1),由上式求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程. 题型3 利用导数研究函数的单调性 例3 已知函数f(x)=a(x-ln x)+,a∈R.讨论f(x)的单调性. 【解析】 由题意得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=a--+=. 若a≤0,则ax2-2<0, 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 若a>0,f'(x)=(x-1)x-x+. ①当0
1, 当x∈(0,1)或x∈,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈1,时,f'(x)<0,f(x)单调递减. ②当a=2时,=1,在x∈(0,+∞)上,f'(x)≥0,f(x)单调递增. ③当a>2时,0<<1, 当x∈0,或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当02时,f(x)在0,上单调递增,在,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 小结 函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法. 题型4 利用导数求函数极(最)值 例4 (1)(2022年全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=( ). A.-1 B.- C. D.1 (2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)(多选题)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( ). A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 (3)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为 . 【答案】 (1)B (2)BCD (3)-1 【解析】 (1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞), 所以依题意可知又f'(x)=-, 所以即所以f'(x)=-+, 因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 当x=1时,函数取得最大值,满足题意. 所以f'(2)=-1+=-.故选B. (2)因为函数f(x)=aln x++(a≠0),所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'( ... ... 