4.2 课时1 回归直线方程 【学习目标】 1.了解最小二乘法的思想及意义.(数学抽象) 2.会根据给出的回归方程的系数公式求一元线性回归方程.(数学运算、数据分析) 【自主预习】 1.什么是回归分析 【答案】 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程. 2.求回归直线方程的主要方法是什么 【答案】 最小二乘法. 3.任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗 【答案】 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断),否则求出的回归方程是无意义的. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于任意给定的两个变量的统计数据,都可以作出散点图. ( ) (2)线性回归方程最能代表观测值x,y之间的线性关系,且回归直线过样本中心(,). ( ) (3)利用线性回归方程求出的值是准确值. ( ) (4)若回归系数是负的,则y的值随x的增大而减小. ( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.变量y对x的回归方程的意义是( ). A.表示y与x之间的函数关系 B.表示y与x之间的线性关系 C.反映y与x之间的真实关系 D.反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合 【答案】 D 【解析】 线性回归方程最能代表观测值x,y之间的线性相关关系,反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合. 3.设有一个线性回归方程为y=-1.5x+2,则变量x每增加1个单位,( ). A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 【答案】 C 【解析】 因为回归方程的斜率为-1.5,所以变量x每增加1个单位,y平均减少1.5个单位. 4.某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据: 产量x/千件 2 3 5 6 成本y/万元 7 8 9 12 由表中数据得到的线性回归方程=x+中=1.1,则预测当产量为9千件时,成本约为 万元. 【答案】 14.5 【解析】 由表中数据得=4,=9,代入线性回归方程得=4.6,∴当x=9时,=1.1×9+4.6=14.5. 【合作探究】 探究1 回归直线方程 问题1:在一元线性回归模型中,变量y由变量x唯一确定吗 【答案】 不唯一.y值由x和随机误差e共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化. 问题2:在一元线性回归模型yi=+xi+ei中,随机误差ei产生的主要原因有哪些 【答案】 (1)所用的确定性函数不恰当; (2)忽略了某些因素的影响; (3)存在观测误差. 问题3:回归分析中,利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗 为什么 【答案】 不一定是真实值.利用线性回归方程求的值,在很多时候是个预测值.例如,人的体重与身高存在一定的线性关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食习惯,是否喜欢运动等. 新知生成 1.回归直线、回归直线方程 找出与散点图中各点散布趋势相似的直线,使各点经过或充分靠近该直线,这样所得到的直线叫作回归直线,这条直线的方程叫作回归直线方程. 2.回归分析 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析. 3.一元线性回归方程 在回归分析中,被预测或被解释的变量称为因变量,用y表示.用来预测或解释因变量的变量称为自变量,用x表示.如果具有相关关系的两个变量x,y可用方程y=a+bx来近似刻画,那么称y=a+bx为y关于x的一元线性回归方程,其中a,b称为回归系数. 由于我们是利用样本数据(一组观测值)去估计总体的回归直线方程,得到估计的回归直线方程形式为=+x. 4.一元线性回归模型 我们把yi=+xi+ei(i=1,2,…,n)这一描述因变量y如何依赖于自变量 x和随机误差ei的方程称为一元线性回归模型. 新知运用 例1 某公司为了预测下月的产品销售情况,找出了近7个月的产品销售量y(单位:万件)的统计表: 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y/万件 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 但其中数据被污损看不清,经查证yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55. (1)请用相关系数r说明销售量y ... ...
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