4.2 课时2 一元线性回归模型的应用 【学习目标】 1.理解散点图在回归模型选择中的作用.(直观想象) 2.掌握不同模型拟合数据效果的评价方法.(数据分析、数学运算) 3.熟悉一元线性回归模型思想的基本步骤.(数据分析、数学运算) 【课前检测】 1.设有一个回归直线方程为y=-5.5x+2,则变量x每增加1个单位,( ). A.y平均增加5.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少5.5个单位 D.y平均减少2个单位 2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下: 父亲身高x/cm 174 176 176 176 178 儿子身高y/cm 175 175 176 177 177 则y关于x的线性回归方程为 ( ) A.=x-1 B.=x+1 C.=x+88 D.=176 3.用模型y=cekx拟合一组数据时,为了求出回归直线方程,设z=ln y,其变换后得到的回归直线方程为z=0.5x+2,则c= ( ). A.0.5 B.e0.5 C.2 D.e2 4.小李准备在某商场租一间商铺开服装店,为了解市场行情,在该商场调查了20家服装店,统计得到了它们的面积x(单位:m2)和日均客流量y(单位:百人)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),并计算得xi=2400,yi=210,=42000,(xi-)(yi-)=6300. (1)求y关于x的回归直线方程; (2)已知服装店每天的经济效益W=k+mx(k>0,m>0),该商场现有60 m2~150 m2的商铺出租,根据(1)的结果进行预测,要使单位面积的经济效益Z最高,小李应该租多大面积的商铺 【题型探究】 探究1 利用回归直线方程对总体进行估计 例1 下表是我国2015年至2021年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨). 年份t/年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 处理量y/亿吨 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69 (1)由数据可知,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立y关于t的线性回归方程(精确到0.01),并预测2023年我国生活垃圾无害化处理量. 附:≈2.25,(ti-)(yi-)≈4.13,≈0.78;≈2.65;相关系数rty=;线性回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-. 【方法总结】 利用一元线性回归模型思想解决实际问题的基本步骤: (1)确定研究对象,明确哪个变量是因变量,哪个变量是自变量; (2)利用相关系数的计算公式,分析自变量与因变量之间的关系; (3)利用最小二乘原理估计一元线性回归方程的系数,建立一元线性回归方程; (4)利用一元线性回归方程进行预测. 针对训练1 如图,这是某采矿厂的污水排放量y(单位:吨)与矿产品年产量x(单位:吨)的折线图: (1)依据折线图计算相关系数rxy(精确到0.01),并据此判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(若|rxy|>0.8,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合) (2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系,请建立y关于x的线性回归方程,并预测年产量为10吨时的污水排放量. 参考公式:相关系数rxy=,线 性回归方程=x+中,=,=-. 参考数据:≈0.55,≈0.95. 探究2 非线性回归分析 例2 某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量的关系,收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理,得到了如图所示的散点图,每亩化肥施用量为x(单位:公斤),粮食亩产量为y(单位:百公斤). 参考数据: xiyi xi yi tizi ti zi 650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5 表中ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10). (1)根据散点图判断y=cxd作为粮食亩产量y(单位:百公斤)关于每亩化肥施用量x(单位:公斤)的回归方程类型比较适宜.根据表中数据,建立y关于x的回归方程. (2)请预测当每亩化肥施用量为27公斤时,粮食亩产量y的值.(预测时取e≈2.7) 附:对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-. 【方法总结】 求非线性回归方程的步骤:(1)确定变量,作出散点图;(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;(3)变量置换,通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题,并求出线性回归方程;(4) ... ...
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