2.3.1 课时1 一元二次不等式及其解法(一) 【学习目标】 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象) 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗 2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗 3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零,如何求解 x的取值范围 4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. ( ) (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2(x10的解集为R. ( ) 2.(多选题)下列所给的关于x的不等式中一定为一元二次不等式的是( ). A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0 C.ax2+4x-7>0 D.x2<0 3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为 . 4.不等式x2<2的解集是 . 【合作探究】 探究1：一元二次不等式 情境设置 观察下列不等式: (1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0. 问题1:以上给出的三个不等式,它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少 问题2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点 新知生成 1.一元二次不等式 把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0. 2.解一元二次不等式的步骤 (1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根; (2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象; (3)由图象得出不等式的解集. 新知运用 一、不含参数的一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. 方法指导 先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集. 【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的实数根,或根据判别式说明方程没有实数根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 方法指导 先求出方程x2-ax-2a2=0的两个根,再通过比较两根的大小写出不等式的解集. 【方法总结】解含参数的一元二次不等式:(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数分大于0、等于0与小于0进行讨论;(2)若求对应的一元二次方程的根需要用公式,则应对判别式Δ进行讨论;(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. 巩固训练 1.解下列不等式: (1)2x2-x+6>0; (2)x2-6x+9≤0; (3)x(7-x)>0. 2.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). 探究2：三个“二次”的关系 情境设置 问题1:一元二次函数与一元二次方程有什么关系 问题2:一元二次不等式与一元二次方程有什么关系 新知生成 三个“二次”的关系 设y=ax2+bx+c(a>0),方程 ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 解不等式 y>0或 y<0 的步骤 求方程y=0的解 有两个不相等的实数根x1,x2(x10)的图象 得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R y<0 {x|x1
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