3.2.1 课时2 函数的最大(小)值 【学习目标】 1.借助函数图象,理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象、直观想象) 2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(数学运算) 3.掌握函数图象的画法及解析式的求法.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.什么是函数的最大值、最小值 【答案】如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值;如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b),称m为f(x)的最小值. 2.从函数图象可以看出,函数f(x)最大(小)值的几何意义是什么 【答案】函数最大(小)值的几何意义是f(x)图象上最高(低)点的纵坐标. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若对任意x∈I,都有f(x)≤M,则M是函数f(x)的最大值. ( ) (2)若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素. ( ) (3)若函数的值域是确定的,则它一定有最值. ( ) (4)函数的最大值一定比最小值大. ( ) (5)若函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减,则函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1). ( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ). A.-1,0 B.0,2 C.-1,2 D.,2 【答案】C 【解析】由题图可得,函数f(x)在x=-2处取得最小值,最小值为-1,在x=1处取得最大值,最大值为2,故选C. 3.函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是( ). A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对 【答案】B 【解析】因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以当x=1时,ymin=1;当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10.故选B. 4.已知函数f(x)=,x∈[1,2],则f(x)的最大值为 ,最小值为 . 【答案】1 【解析】∵f(x)=在区间[1,2]上单调递减,∴f(2)≤f(x)≤f(1),即≤f(x)≤1. 【合作探究】 探究1：函数的最大(小)值 情境设置 观察函数图象: 问题1:函数f(x)的定义域是什么 【答案】[-4,7]. 问题2:函数f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么 【答案】3,-1.5. 问题3:函数y=f(x)的值域是什么 【答案】[-2,3]. 新知生成 1.最大值、最大值点 如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为函数f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.同样方法可以写出f(x)的最小值和最小值点. 2.最值 最大值和最小值统称为最值. 新知运用 一、利用函数的图象求函数的最值(值域) 例1 已知函数f(x)= (1)在直角坐标系内画出f(x)的图象; (2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域. 方法指导 先作出函数的图象,再利用图象求函数的最值(值域). 【解析】(1)f(x)的图象如图所示. (2)由图可知f(x)的单调递增区间为(-1,0),(2,5),单调递减区间为(0,2),值域为[-1,3]. 【方法总结】利用图象求函数最值的方法 (1)画出函数y=f(x)的图象; (2)观察图象,找出图象的最高点和最低点; (3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值. 二、利用单调性求最值 例2 已知函数f(x)=. (1)讨论函数f(x)在[2,3]上的单调性; (2)求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值. 方法指导 (1)用单调性的定义证明函数的单调性;(2)由单调性即可证明函数在闭区间上的最值. 【解析】(1)设 x1,x2∈[2,3],且x11,即1-x1x2<0, 又(+1)(+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)=在[2,3]上单调递减. (2)由(1)知,f(x)=在[2,3]上单调递减, 所以当x=2时,f(x)取得最大值,最大值为;当x=3时,f ... ...
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