2024安徽中考数学二轮专题训练 题型三 从“几何最值问题”的本质，探究“满足特定条件问题” 类型一———垂线段最短”类问题 典例精讲 例 1 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6，点P为边AB上一动点，点P关于AC，BC的对称点分别为点M，N，PM，PN分别与AC，BC交于点E，F，连接MN，则线段MN的最小值为_____． 例1题图① 变式探究 变式角度→点P在特定条件下，直角三角形变为等边三角形 如图②，在等边△ABC中，AB＝6，点P是AB上一动点，作点P关于直线AC、BC的对称点分别为点M、N，连接MN.若CP＝2，则MN的长为_____． 例1题图② 【本质】例1的本质是垂线段最短，即点C到AB的最短距离为CP⊥AB时CP的长． 【思考】①在图②中，若MN＝10时，你能判断出在AB边上有几个P点吗？②当点P在等边△ABC的三边上运动时，你能直接判断出在三角形的边上有几个P点吗？ 满分技法 “垂线段最短”在最值问题中的应用：具体讲解内容详见微专题 类型二———两点之间，线段最短”类问题 典例精讲 例 2 如图①，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P是AB上一点，E、F为BD的三等分点，连接PE、PF，则△PEF周长的最小值是( ) A. 4 B. 4＋ C. 2＋2 D. 6 例2题图① 变式探究 变式角度→ 设问变为求点的个数 如图②，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F将对角线BD三等分，若P是菱形边上的点，连接PE、PF，则满足△PEF的周长为的点P的个数是( ) 0 B. 4 C. 8 D. 12、 例2题图② 【本质】例2的本质是利用“两点之间、线段最短”求△PEF周长的最值问题，即点P的位置具有唯一性． 【思考】当△PEF的周长为某一定值，点P的位置及个数会怎样呢？ 满分技法 利用“两点之间，线段最短”求最值：具体讲解内容详见微专题 安徽近年真题精选 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( ) A. B. C．5 D. 第1题图 2.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12.点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( ) A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 第2题图 变式探究 3. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，点P是菱形ABCD边上的点，则满足PE＋PF＝的点P的个数是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第3题图 类型三———点圆最值，线圆最值”类问题 典例精讲 例 3 如图①，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP，则线段CP的最小值为( ) A. B. C. D. 例3题图① 【本质】例3的本质是利用辅助圆求线段CP的最小值问题． 【思考】当我们画出点P的运动轨迹时，他与过点C的直线会存在哪种位置关系呢？ 满分技法 辅助圆在最值问题中的应用：具体讲解内容详见P99微专题 变式探究 如图②，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，M为AD边上一点，连接CM，当AM＝1时，CM与P点运动轨迹的交点个数是( ) 0 B. 1 C. 2 D. 3 例3题图② 安徽近年真题精选 4. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为( ) A. B. 2 C. D. 第4题图 参考答案 类型一———垂线段最短”类问题 典例精讲 例1 3 【解析】如解图①，连接CP，∵点P关于AC，BC的对称点分别为点M，N，∴MC＝CP，CP＝CN，AC⊥MP，NP⊥BC，∴∠MCA＝∠ACP， ... ...
