第十二章 复数 知识归纳题型突破 学案（含解析） 高中数学苏教版（2019）必修第二册

第十二章　复数（知识归纳+题型突破） 1.了解数系的扩充过程，理解复数的概念. 2.理解复数的分类. 3.掌握复数相等的充要条件及其应用. 4.掌握复数代数形式的加法、减法运算法则. 5.掌握复数乘法运算，能够进行复数的乘法运算. 6.理解共轭复数的概念. 7.理解复数乘法的运算律. 8.掌握复数乘方的运算律，并会进行乘方运算. 9.掌握复数除法运算的运算法则，能够进行复数的除法运算. 10.了解复平面的概念. 11.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 12.掌握复数的模的概念，会求复数的模. 13.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 14.正确理解复数的三角形式的意义. 15.明确复数代数形式和三角形式之间的相互关系，并能初步进行二者之间的相互转化. 16.掌握三角形式的乘除法的运算. 1.复数的有关概念 （1）虚数单位：引入一个新数i，叫作虚数单位； 其中：i2＝－1；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. （2）复数 ①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数. ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部. （3）复数集 ①定义：全体复数所组成的集合叫作复数集. ②表示：通常用大写字母C表示. （4）复数集的组成： 复数集由实数集和虚数集构成. 2.复数的分类 复数z＝a＋bi（a，b∈R） 复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数. 3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d，a＋bi＝0 a＝b＝0. 4.复数加、减法的运算法则 （1）加、减法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i. （2）加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C， ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1. ②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）. 5.复数乘法的运算法则和运算律 （1）复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， 则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. （2）复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3） 分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3 6.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数.z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi. 7.复数乘方的运算律 对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有 zmzn＝zm＋n；（zm）n＝zmn；（z1z2）n＝zz. （1）复数的乘方运算与多项式乘方运算很类似，可仿照多项式乘方运算进行，但结果要将实部、虚部分开（i2换成－1）. （2）一般地，如果n∈N*，那么：i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 8.复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R）， 则＝＝＋i（c＋di≠0）. 9.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 10.复数的两种几何意义 11.复数的模 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝. 12.复数加、减法的几何意义 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是Z2Z1. 13.辐角与辐角主值 如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线（起点是原点O）为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角. 任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，任意两个辐角之间相差2π的整数倍，适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值 ... ...