4.1 两个计数原理 【学习目标】 1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象) 2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象) 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高,此时能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢 是什么计数法 【答案】能,是分类计数法和分步计数法. 2.使用分类加法计数原理的关键是什么 有什么要求 【答案】使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准,每一种方法必须属于某一类方法,不同类的任意两种方法是不同的方法.要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”. 3.使用分步乘法计数原理的关键是什么 有什么要求 【答案】使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事,单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事,是不是要经过几个步骤才能完成这件事.要求是各步之间必须连续,只有按照这几步逐步去做,才能完成这件事,各步之间不能重复也不能遗漏. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. ( ) (2)在分类加法原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. ( ) (3)在分步乘法原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. ( ) (4)在分步乘法原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.已知从甲地到乙地,一天中有5次火车,12次客车,3次飞机航班,还有6次轮船.某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是( ). A.26 B.60 C.18 D.1080 【答案】A 【解析】由分类加法计数原理知,有5+12+3+6=26(种)不同走法. 3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为 . 【答案】12 【解析】要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件上衣中任选1件,有4种不同选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选1条,有3种不同选法.由分步乘法计数原理知,共有4×3=12(种)不同的配法. 4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有 项. 【答案】10 【解析】多项式的展开式共有3×2+2×2=10(项). 【合作探究】 探究1：分类加法计数原理 情境设置 问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码 【答案】因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36(种)不同的号码. 问题2:在1,2,3,4四个数字中任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和有多少种 【答案】第一类,取两个数,则1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5(舍去),2+4=6,3+4=7,共5种. 第二类,取三个数,则1+2+3=6(舍去),1+2+4=7(舍去),1+3+4=8,2+3+4=9,共2种. 第三类,取四个数,则1+2+3+4=10,共1种. 故取出这些数得到不同的和有5+2+1=8(种). 问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗 【答案】解决以上问题的步骤如下: (1)求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交; (2)求每一类中的方法数; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. 新知生成 1.分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,且每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法,我们把 ... ...
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