4.4 课时1 二项式定理 【学习目标】 1.能用两种计数原理证明二项式定理.(逻辑推理) 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.(数学抽象) 3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.你能写出(b+a)n的二项展开式吗 二项展开式中的字母a,b能交换位置吗 【答案】(1)(b+a)n=bn+bn-1a+bn-2a2+…+an. (2)二项展开式中的字母a,b是不能交换位置的.虽然(a+b)n与(b+a)n的结果相同,但(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,即二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆,如(a+b)3的展开式中第2项是3a2b,而(b+a)3的展开式中第2项是3ab2,故两者是不同的. 2.(1+2x)n的二项展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么 【答案】(1+2x)n=+2x+(2x)2+(2x)3+…+(2x)n.其第5项的二项式系数为,第5项的系数为·24=16. 3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别 【答案】二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,而项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关. 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)(a+b)n展开式中共有n项. ( ) (2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同. ( ) (3)arbn-r是(b+a)n展开式中的第r(r=0,1,2,…,n)项. ( ) (4)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等. ( ) 【答案】(1)× (2)× (3)× (4)× 2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=( ). A.9 B.10 C.11 D.8 【答案】B 【解析】因为(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有11项,所以n=10. 3.将(a1+b1+c1)(a2+b2+c2+d2)展开后有 个不同的项. 【答案】12 【解析】由题意知,共有=12(个)不同的项. 4.求x+6的展开式. 【解析】根据二项式定理可知x+6=x+x-16 =x6+x5x-1+x4x-2+x3x-3+x2x-4+x1x-5+x-6 =x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6. 【合作探究】 探究1：二项式定理 情境设置 问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程 【答案】从上述过程可以看到,(a+b)2是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2的展开式共有2×2=22项,而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式. 问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗 【答案】当k=0时,a2-kbk=a2,是由2个(a+b)中都不选b得到的,相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数,因此a2只有1个; 当k=1时,a2-kbk=ab,是由一个(a+b)中选a,另一个(a+b)中选b得到的,由于b选定后,a的选法也随之确定,因此,ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数,即ab共有2个; 当k=2时,a2-kbk=b2,是由2个(a+b)中都选b得到的,相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数,因此b2只有1个. 由上述分析可以得到(a+b)2=a2+ab+b2. 问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式是什么 【答案】(a+b)3=a3+a2b+ab2+b3; (a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4; (a+b)n=an+an-1b+…+abn-1+bn. 新知生成 二项式定理 公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)叫作二项式定理.等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有(n+1)项,其中各项的系数(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数. 新知运用 例1 (1)求的展开式. (2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 方法指导 (1)解答本题先将看成 ... ...
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