6.1.2 导数及其几何意义 【学习目标】 1.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义.(数学建模、逻辑推理) 2.了解导数概念的实际背景,了解导数与割线斜率之间的关系,能利用导数的定义求函数的导数,能结合具体情境,感受导数的实际应用.(数学运算) 3.理解曲线的切线的概念,理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(数学运算) 【自主预习】 1.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s,求枪弹从枪口射出时的瞬时速度. 【答案】 位移公式为s=at2, ∴Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2, ∴=at0+aΔt,∴ =at0+aΔt=at0. ∵a=5.0×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s, ∴at0=800 m/s. 故枪弹从枪口射出时的瞬时速度为800 m/s. 2.已知抛物线f(x)=x2上的点P0(1,1),点P(1+Δx,(1+Δx)2),如何求割线P0P的斜率呢 【答案】 割线P0P的斜率k===Δx+2. 3.抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有什么内在联系 【答案】 当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.因此,切线P0T的斜率k0=2. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)=c(c为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率为0. ( ) (2)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况. ( ) (3)函数y=f(x)在某点处的导数是一个变量. ( ) (4)若函数y=f(x)在某点处可导,则在该点处一定有切线,反之也成立. ( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( ). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 【答案】 C 【解析】 因为f'(x0)= ==(a+bΔx)=a, 所以选C. 3.设f(x)=2x+1,则f'(1)= . 【答案】 2 【解析】 f'(1)= ==2. 4.抛物线f(x)=x2-2在点(3,7)处的切线斜率为 . 【答案】 6 【解析】 ===6+Δx,当Δx→0时,→6,即抛物线f(x)=x2-2在点(3,7)处的切线斜率为6. 【合作探究】 探究1 瞬时变化率 我们经常看到在道路旁立着许多交通标志,如图,该限速标志表示允许行驶的最大速度是80 km/h. 问题:你知道这个数据表达的物理意义吗 【答案】 不超过80 km/h,即汽车的速度每时每刻都不超过这个数据,而不是指一段时间内的平均速度不超过这个数据,所以物理意义是瞬时速度. 新知生成 1.瞬时变化率 一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率 = 无限接近于一个常数k,那么称 常数k 为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.简记为:当Δx→0时,→k或=k. 2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的实质与作用 (1)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值. (2)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢. 3.“Δx无限趋近于0”的含义 Δx与0要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且Δx始终不等于0. 新知运用 例1 已知某物体的运动方程为s=3t2+2t. (1)求物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度; (2)求物体在t0时的瞬时速度. 【解析】 (1)物体在t0到t0+Δt这段时间内位移的变化量Δs=3(t0+Δt)2+2(t0+Δt)-3-2t0=6t0Δt+3Δt2+2Δt, 故平均速度===6t0+3Δt+2. (2)物体在t0时的瞬时速度 v==(6t0+3Δt+2)=6t0+2. 【方法总结】 平均速度即Δt时间内物体位移与时间的比值,当Δt无限趋近于0时,平均速度趋近于瞬时速度. 质点M按规律s(t)=2t2+3(位移单位:cm,时间单位:s)做直线运动,求质点M在t=2 s时的瞬时速度. 【解析】 v= ==(2Δt+8)=8(cm/s). 探究2 导数的概念及导数运 ... ...
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