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课件网) 单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容 祖暅原理与几何体的体积 学习目标 01 02 03 了解祖暅原理； 体会等价转化的数学思想方法和类比抽象等科学研究方法. 理解柱体、锥体、台体、球体积公式的产生过程； 目录/CONTENTS 01 02 03 04 05 06 球 柱体 棱柱 圆柱 锥体 棱锥 问题1 如图所示的矩形与平行四边形面积分别是多少？ 过程一 类比与猜想 追问1 对于等底等高的平行四边形与矩形,有怎样一般性的结论？ 过程一 类比与猜想 平行四边形面积 矩形面积 追问2 你能把这一结论推广到空间吗？ 等底等高的平行四边形面积相等 实验：取一摞书本堆放在桌面上. 过程二 推理与验证 问题2 一摞书本整齐的堆在一起，从外观上可看成什么几何体？体积怎么算？ 长方体体积公式 过程二 推理与验证 追问1 把书本朝一个方向推歪了，体积会变化吗？为什么？ 追问2 把书本旋转以后，体积会变化吗？为什么？ 过程二 推理与验证 祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。 幂: 水平截面面积 势: 高 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等. 过程二 推理与验证 祖暅的介绍： 祖暅是南北朝时期著名数学家祖冲之的儿子. 他从小对数学具有浓厚的兴趣. 祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体，球体的体积计算. 他们当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利发现的.为了纪念祖氏父子的这一伟大发现，数学上称这个原理为“祖暅原理”. 过程三 探究与发现 1. 柱体的体积 问题3 由祖暅原理,等底等高的柱体体积相等吗？为什么？ 追问 柱体转化怎样的几何体求体积呢？ 柱体 等底等高的长方体 过程三 探究与发现 由祖暅原理可得： （1）等底等高的柱体体积_____ （2）若柱体的底面积为S，高为h，则体积V=_____ 相等 过程三 探究与发现 2.锥体的体积 问题4 由祖暅原理,等底等高的锥体体积相等吗？为什么？ 过程三 探究与发现 追问1 锥体转化为怎样的特殊几何体求体积呢？ 追问2 能否直接验证棱锥体积是等底等高的棱柱体 积的1/3？ 过程三 探究与发现 等底等高的柱体 锥体 过程三 探究与发现 由祖暅原理可得： （1）等底等高的锥体体积_____ （2）若锥体的底面积为S，高为h，其体积是与它等底等高的柱体体积的_____，体积V=_____ 相等 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 3. 台体的体积 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 问题5 柱体、锥体、台体的体积有什么关系？ 过程三 探究与发现 4. 球的体积 (将半球放在水平桌面上,球半径为R) 问题6 由祖暅原理，构造怎样的空间几何体能与半球的体积相同呢？ 半球体 ？ 过程三 探究与发现 问题7 构造如图所示的圆柱或者圆锥可以吗？为什么？它们的体积之间有怎样的关系？ R R 过程三 探究与发现 问题8 将问题7中圆锥倒置在水平桌面上, 用一个与桌面相距为（0 R）的平面去截半球、圆锥、圆柱，分别求截面面积，你有怎样的发现？ 过程三 探究与发现 问题9 如何构造符合条件的几何体？ 发现： 过程三 探究与发现 实验演示: 1. 拿出圆锥和圆柱 2. 将圆锥倒立放入圆柱 过程三 探究与发现 R 3. 作半球和新的几何体平行于底面的截面 过程三 探究与发现 半球 圆柱与圆锥的组合体 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 由祖暅原理可得： （1）左右两个几何体体积_____ （2）= _____ 则=_____ 相等 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 过程三 探究与发现 例3中的几何体,是由球和棱柱组合而成的,类似的几何体一般称为组合体.求组合体的体积(或表面积) ... ...
