2024年高考数学二轮复习-极坐标与参数方程 题型一：极坐标与普通方程互化 1．(2023年全国甲卷理科·第22题)已知点，直线(t为参数)，为的倾斜角，l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，且． (1)求； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 【答案】(1) (2) 解析：(1)因为与轴，轴正半轴交于两点，所以， 令，，令，， 所以，所以， 即，解得， 因为，所以． (2)由(1)可知，直线的斜率为，且过点， 所以直线的普通方程为：，即， 由可得直线的极坐标方程为． 2．(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点． 【答案】(1)；(2)P的轨迹的参数方程为(为参数)，C与没有公共点． 解析：(1)由曲线C的极坐标方程可得， 将代入可得，即， 即曲线C的直角坐标方程为； (2)设，设 ， ， 则，即， 故P的轨迹的参数方程为(为参数) 曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2， 则圆心距为，，两圆内含， 故曲线C与没有公共点． 3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求的直角坐标方程； (2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【答案】解析：(1)由，得的直角坐标方程为． (2)由(1)知是圆心为，半径为的圆． 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点． 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或． 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点． 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或． 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． 综上，所求的方程为． 4．(2015高考数学江苏文理·第23题)已知圆的极坐标方程为，求圆的半径． 【答案】(C) 分析：先根据将圆C的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径． 解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系． 圆的极坐标方程为， 化简，得． 则圆的直角坐标方程为， 即，所以圆的半径为． 题型二：极坐标方程的应用 1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为． (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 解析：【小问1详解】 因为l：，所以， 又因为，所以化简为， 整理得l的直角坐标方程： 【小问2详解】 联立l与C的方程，即将，代入 中，可得， 所以， 化简为， 要使l与C有公共点，则有解， 令，则，令，， 对称轴为，开口向上， 所以， ， 所以 m的取值范围为． 2．(2020江苏高考·第22题)在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上(其中，)． (1)求，的值 (2)求出直线与圆的公共点的极坐标． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ，因为点为直线上，故其直角坐标方程为， 又对应的圆的直角坐标方程为：， 由解得或， 对应的点为，故对应的极径为或． (2)， ，当时； 当时，舍；即所求交点坐标为当 3．(2019·全国Ⅲ·理·第22题)如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲 ... ...
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