2024年高考数学二轮复习专题-大题- 数列新定义 一、解答题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则． (1)求和（用表示）； (2)令，证明：； (3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案； （2），分别计算和可证明结论； （3）先根据无上界说明存在正整数，使得，分是偶数和是奇数分别说明. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； （2）由数列定义得：；所以． 而， 所以； （3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得． 设是满足的最小正整数．下面证明． ①若是偶数，设， 则，于是． 因为，所以． ②若是奇数，设， 则． 所以． 综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得． 2．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且． (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式， （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果 （3）根据“和稳定数列”的定义可判定. 【详解】（1）， 又，，解得： 因为是等比数列，所以的公比， 又当时，， 作差得： 将代入，化简：， 得： 是公差的等差数列， （2）记集合的全体元素的和为， 集合的所有元素的和为， 集合的所有元素的和为， 集合的所有元素的和为，则有 对于数列： 当时，是数列中的项 当时，不是数列中的项 ，其中 即（其中表示不超过实数的最大整数） （3）①解：当时，是的正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； ②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则，且 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 3．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可； （2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可. 【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下： 因为， 令， 则． 当时，， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以， 所以， 所以是“上凸数列”． （2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意， ， 所以， 所以． （ⅱ）解：令， 由（1）可得当时，是“上凸数列”， 由题意可知，当时，． 因为， 即 ． 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以． 综上所述，的最小值为． 4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，. (1)求; (2)求证:; (3)如果满足方程，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)474. 【分析】（1）根据图形即可得到结果； （2）根据题意，由图形分别计算与，然后代入计算，即可证明； （3）根据题意，将方程转化为，然后化简，分别计算与的值，即可得到结果. 【详解】（1）根据图形可知. （2）固定，则为一个高阶等差数列，且满足 所以 ， 所以，，所以 . ... ...
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