专题：尺规作图及简单的证明 五种基本作图： ①作一条线段等于已知线段； ②作一个角等于已知角； ③作已知线段的垂直平分线； ④作已知角的角平分线; ⑤过一点作已知直线的垂线； 基本作图步骤： 一、截取一条线段等于已知线段； 步骤： 1.作射线OP 2.以O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA既为所求线段 二、作角的平分线； 步骤： 1.以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点C、D； 2.分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点P； 3.作射线OP，OP即为所作角的角平分线。 【巩固训练】 1、如图，ABCD，点E是CD的中点． (1)用尺规作∠BDC的平分线（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的情形下，设∠BDC的平分线交AB于点F，连接EF交BC于点H．若HB＝HC，猜想四边形BDEF是哪种特殊的平行四边形？完成下列证明． ∵点E是CD的中点 ∴CE＝DE ∵CH＝BH ∴ ∵ABCD ∴四边形BDEF是平行四边形 ∵ABCD ∴∠BFD＝∠EDF ∵BF平分∠DD ∴ ＝∠EDF ∴ ＝∠BDF ∴BF＝BD ∴四边形BDEF是 2、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD． (1)尺规作图：在AB上截取AE，使得AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，求证：△CDP为直角三角形． （请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明： ∵AE＝AD， ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠AED＝∠EDC， ∴ ∵CF平分∠BCD， ∴ 又∵AD∥CB， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠BCD＝90°， ∴ ∴∠CPD＝90°， ∴△CDP是直角三角形． 三、作线段的垂直平分线． 步骤： 分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径在线段AB两侧作弧，两弧交于C、D两点 2.连接两弧交点，所成直线即为AB的垂直平分线。 【巩固训练】 1、如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB，AC为对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线，分别交AD，BC于E，F两点，垂足为O，连接AF，CE；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据（1）所作图形，完成四边形AFCE是菱形的证明过程． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴∠DAC=∠BCA ∵EF垂直平分AC ∴OA=OC，EA=_____，FA=FC ∵在△AOE和△COF中， ∴ ∴_____ ∴AE=CE=CF=AF ∴四边形AFCE是菱形（推理依据， ） 2、如图，四边形ABCD中，，AC为对角线． (1)尺规作图：作AC的垂直平分线分别交AB、AC、DC于点E、F、G．连接AG，CE；（不写作法和结论，保留作图痕迹） (2)求证：四边形AECG是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明： ， EG垂直平分AC ， ， 又， 四边形AECG是平行四边形 平行四边形AECG是菱形． 四、过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线； 步骤： 以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线于A、B两点； 2.分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径向直线另一侧（点P的的对面）作弧，交点为N； 3.连接P、N，即为所求垂线。 【巩固训练】 1、如图，在中，分别交AD，BD于点E，F． (1)用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴， ∴． ∵， ∴ 度 ∴ ∴ 又∵ ∴ 在△ABG和△CDF中 ∴ ∴ 又∵ ∴四边形AGCF是平行四边形 2、已知： 如图， 矩形 中， 点 是 上一点， 且 ． （1）用尺规完成以下基本作图： 过点 作 的垂线交 于 ；（保留作图痕迹， 不写作法， 不下结论） （2） 求证： ． 请将下列证明过程补充完整： 证明： ， 又 在矩形 中， ， ∴ 在矩形 中， ∴ 又 ． ∴ ， ∴． 五、作一个角等于已知角； 步骤： 如图，∠AOB。 ... ...
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