2023-2024学年苏科版八年级数学下册-坐标系与四边形 压轴题（含存在性问题）（原卷+解析）

2023-2024学年八年级数学下册-坐标系与四边形 压轴题（含存在性问题）（苏科版） 一、解答题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，过的直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点D是第一象限位于直线上的一动点，过点D作轴交于点H．当时，试在x轴上找一点E，在直线上找一点F，使得的周长最小，求出周长的最小值； (3)如图2，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，将直线绕点O逆时针旋转得到直线，点P是直线上一点，且横坐标为．在平面内是否存在一点Q，使得以点M，C，P，Q为项点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析， (3)或或 【分析】（1）先求得点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可； （2）作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，分别交x轴于E，交于F，求出点的坐标和点，进而求得的最小值为的长； （3）求出点M和点N旋转后的对应点的坐标，从而求出的解析式，进而求得点P的坐标，然后分三种情况，结合根据平行四边形的性质，求得点Q的坐标． 【解析】（1）解：把点代入，得： ， ∴， ∴， 设直线的解析式为∶， 把，代入得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解∶如图， 设点D的坐标为， ∵轴， ∴点， ∵， ∴，解得：， ∴，， 作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，交x轴于E，交于F，则，，的周长最小，最小值为∶ ， ∵直线由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，且直线为第一三象限的角平分线， ∴直线与坐标的夹角都为， ∴， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴的周长最小值为∶； （3）如图， ∵点， ∴点M和点N旋转后的对应点， ∴直线的解析式为∶， 当时，， ∴， 当时， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， 当时， ∵，， ∴， 综上所述∶点或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是作对称，确定点E，F的位置． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点在y轴正半轴上，点在轴正半轴上，． (1)求，的长； (2)求点坐标； (3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）如图，过点作轴于点，证明，推出，，即可解决问题； （3）分三种情形分别求解即可解决问题． 【解析】（1）解：（1）∵，的长满足， 又∵，， ∴，， ∴，． （2）如图，过点作轴于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为． （3）存在． 如图，过点作轴于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或或 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出和的长度，再根据旋转的性质，得 ... ...