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课件网) 第五章 复数 5.1.1 复数的概念 情 境 引 入 复数系统在科学上的作用可大了，没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明！ —陈省身（1911-2004） 有理数集 计数的需要 引入了 自然数 自然数集 整数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 引入了 分数 引入了 无理数 解决度量正方形对角线等问题 角度一：解决实际问题的需要 探究新知 数是人类文明进程中的伟大创造.随着实际和运算的需要，经过长时间的发展，人们逐步把数从自然数扩充到有理数、实数. 解决测量等分问题 在自然数集中，方程 有解吗 在整数集中，方程 有解吗 在有理数集中，方程 有解吗 在实数集中，方程 有解吗 角度二：解方程的需要 扩充到整数集呢 扩充到有理数集呢 扩充到实数集呢 自然数 整数 有理数 实数 负整数 分数 无理数 ？ 在数自身的发展中，求解方程是数系扩充的重要动力. 方程 有没有解 我们知道，方程 在实数集中无解. 从方程的角度看， 能不能开平方 联系从自然数集到实数集的扩充过程，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，这个方程有解呢 虽然负数的开方运算是由求一元二次方程的解引发的，但迫使人们认真对待却是因为求一元三次方程的解. 1545年意大利数学家卡尔达诺(Girolamo Cardano，1501—1576)出版著作《重要的艺术》，书中在讨论一元三次方程的求根公式时，无可避免地导致求解负数的平方根. 探究新知 思考交流 思考：数系经历了四次扩充，扩充的基本原则是什么 2.原数集中的运算性质仍然成立; 1.增加新元素; 数系的扩充就像移动通讯技术的发展一样，保留原有功能，并不断更新换代，以满足人们对于移动网络更高标准的需要. 移动 电话 收发 短信 收发 图文 移动 视频 万物 互联 3.新数系能解决旧数系中的矛盾. 数系的5G时代是什么 日常生活中有什么也是不断更新换代的 依照这种思想，为了解决 这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数 ，使得 是方程 的解，即使得 . 解决问题 欧拉(L.Euler，1707-1783) 1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“ ” 表示 ，称为虚数单位. 解决问题 你能利用新数 的定义解方程 吗？ 把新引进的数 添加到实数集中，我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢 形成概念 （1）把实数 与 相乘，结果记作 ; （2）把实数 与 相加，结果记作 ; 所有实数以及 都可写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如 的数叫作复数. 复数的概念 复数的代数形式 形成概念 全体复数所构成的集合 叫作复数集. 我们把形如 的数叫作复数，其中 叫作虚数单位. 复数通常用字母 表示,即 . 其中 称为复数的实部，记作 ； 称为复数的虚部，记作 . 注意：虚部是 ，不是 . 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 复数的分类 当且仅当 时，它是实数， 当且仅当 时，它是虚数， 当且仅当 时，它是实数0; 对于复数 当且仅当 时，它是纯虚数. 形成概念 当且仅当 时，它是非纯虚数. 非纯虚数集 练习 判断下列复数哪些是实数，纯虚数，非纯虚数？ ， 与 能比较大小么？ 两个复数相等 若两个复数相等，则它们的实部和虚部分别相等！ 在复数集 中的两个数 ， 形成概念 答：虚数不能比较大小，只有相等或不相等；实数可以比较大小. 即： . 当且仅当 能比较大小么 两个复数 思考： 例 深化概念 思考：自然数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 ，复数集 之间有什么关系 例题讲解 例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数. (1) ； ... ...
